403
правки
Изменения
м
+ часть статьи. эту часть можно крушить-ломать-приводить в адекватный вид. Можно делать картинки
{{В разработке}}
Как обычно, будем рассматривать функцию двух переменных.
[Тут какое-то невнятно написанное предложение про мотивацию]
Площадь сектора <tex>S = \frac12R^2\alpha</tex>. Пусть эта формула нам известна. (рис 1)
КАРТИНКА КАРТИНКА
<tex>\Delta \alpha</tex>, <tex>\Delta r \approx 0</tex>
<tex>\Delta S = \frac12(r + \Delta r)^2\Delta \alpha - \frac12r^2\Delta \alpha</tex>
<tex>=\frac12\Delta\alpha(2r + \Delta r) \Delta r</tex>
<tex>=r\Delta\alpha \Delta r + \frac12\Delta \alpha(\Delta r)^2</tex>
<tex>\frac{\Delta S}{\Delta\alpha\Delta r} = r + \frac12\Delta r</tex>
<tex>\Delta \alpha, \Delta r \to 0 \Rightarrow \frac{\Delta S}{\Delta\alpha \Delta r} \to 0</tex>
Или, <tex>\Delta S \approx r\Delta\alpha\Delta r</tex>.
Рассмотрим полярные координаты. <tex>\begin{cases}x & = r\cos \alpha\\y & = r\sin\alpha\end{cases}</tex>
Рассмотрим линии уровня. <tex>l_r</tex> {{---}} ГМТ, для каждой из которых значение радиуса одно и то же и равно <tex>r</tex>.
Аналогично, <tex>l_\alpha</tex> {{---}} ГМТ, для каждой из которых <tex>\alpha = \mathrm{const}</tex>
Меняя в <tex>l_r</tex> и <tex>l_\alpha</tex> <tex>r</tex> и <tex>\alpha</tex>, покрываем плоскость сетью окружностей и лучей(рис 3).
КАРТИНКА КАРТИНКА
Если на написанную систему соотношений смотреть как на преобразование плоскости и смотреть образы <tex>l_r</tex> и <tex>l_\alpha</tex>,
в силу их определений это будет сеть вертикалей и горизонталей. (рис 4)
Если заштриховать фигуру, границы которой {{---}} эти линии, то её образ будет прямоугольником. При обозначении его площади за <tex>\Delta S</tex> получаем
предел выше. Тогда этот предел {{---}} коэффициент искажения элементарной площади при переходе из одной системы осей в другую.
<tex>T(\alpha, r) = \binom{x=r\cos\alpha}y=r\sin\alpha</tex>
Прямоугольник <tex>\Delta\alpha\times\Delta r</tex> под действим <tex>T</tex> переходит в <tex>\Delta S</tex>, причём <tex>\frac{\Delta S}{\Delta\alpha\Delta r} \to r</tex>(<tex>\Delta\alpha, \Delta r \to 0</tex>).
Итак, первый этап завершён. Найдена плотность(коэффициент искажения).
На втором этапе мы заинтегрируем эту плотность и придём к формуле <tex>|E| = \iint\limits_E dxdy = \iint\limits_{E'} rd\alpha dr</tex>, которая будет
базовой формулой для того, что бы научиться заменять переменные в двойных интегралах.
Будем считать, что мы знаем, что если есть <tex>P \in E_P</tex>, <tex>E'_P</tex> {{---}} образ, то
<tex>\frac{E_P}{E'_P} \xrightarrow[\operatorname{diam} E_P \to 0]{} r</tex>, где <tex>P =(x, y) = (\alpha, r)</tex>. Это стремление равномерно по положению точки в
пределах прямоугольника. (рис 5)
КАРТИНКА
<tex>\forall\varepsilon > 0\ \exists \delta > 0 : \operatorname{diam} E_P < \delta \Rightarrow \left|\frac{|E_p|}{|E'_P|} - r \right| < \varepsilon</tex>
Рассмотри квадрируемую фигуру <tex>E</tex>. <tex>E = \bigcup\limits_{j = 1}^p E_j</tex>, <tex>|E| = \sum\limits_{j = 1}^p |E_j|</tex>
<tex>|E_j| = r_j|E'_j| + \alpha_j |E'_j|</tex>, где <tex>\alpha_j</tex> {{---}} бесконечно малое.
<tex>|E| = \sum\limits_{j = 1}^p r_j |E'_j| + \sum\limits_{j = 1}^p \alpha_j |E'_j|</tex>
По равномерной непрерывности, при <tex>\operatorname{diam} E'_j < \delta</tex>, <tex>\sum\limits_{j=1}^p\alpha_j|E'_j| \leq \varepsilon\sum\limits_{j = 1}^p|E'_j|</tex>.
Тогда первое слагаемое {{---}} интегральная сумма, а второе стремится к нулю. Тогда
<tex>E = \iint\limits_{E'}rd\alpha dr + 0 = \iint\limits_{E'} rd\alpha dr</tex>
Пример.
КАРТИНКА
Плошадь круга. <tex>|E| = \iint\limits_\Pi r d\alpha dr</tex> <tex>= \int\limits_0^{2\pi} d\alpha \int\limits_0^R r dr</tex> <tex>=\pi r^2</tex>
