Изменения

* <tex>X = \widetilde{L_1}[0; 1]</tex> — функции <tex>f \colon [0; 1] \to \mathbb R</tex>, для которых <tex>\int_0int\limits_0^1 |f| < +\infty</tex> (например, <tex>f(t) = \frac 1{\sqrt t} \in \widetilde{L_1}[0; 1]</tex>), <tex>\|f\| = \int_0int\limits_0^1 |f|</tex>.

# <tex>\|x_n\| \rightarrow \|x\|</tex>

Докажем первый пункт. 1) По определению предела в метрических пространствах, <tex>x_n \rightarrow x \iff \|x_n - x\| \rightarrow 0</tex>.

{{Определение|definition=Нормированное пространство <tex>(X, \|\cdot\|)</tex> называется '''B-пространством''', если для любой последовательности элементов <tex>X</tex>, для которых из <tex>\|x_n - x_m\| \rightarrow to 0</tex> при <tex>n, m \rightarrow 0to \infty</tex> вытекает существование предела последовательности.}}

В нормированных пространствах определение предела записывается аналогично пределу вещественной последовательности, отличаясь лишь заменой знака модуля на знак нормы. Например, если <tex>E \subset X</tex>, <tex>a</tex> — предельная точка множества <tex>E</tex>, <tex>f \colon E \to Y</tex> (где <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> — нормированные пространства), то <tex>A</tex> называется пределом функции <tex>f</tex> при <tex>x \rightarrow a</tex> и обозначается <tex>\lim\limits_{x \rightarrow a} f(x)</tex>, если для любого положительного <tex>\varepsilon</tex> найдётся <tex>\delta > 0</tex>, для которого выполняется следствие <tex>0 < \|x - a\| < \delta \Rightarrow \|f(x) - A\| < \varepsilon</tex>. Также в нормированных пространствах можно рассматривать ряды, понимаяпод рядом, например, под рядом предел частичных сумм. Другие методы суммирования также можно перенести на нормированные пространства (метод средних арифметических или метод Абеля).

Пусть <tex>H</tex> — линейное пространство. Величина <tex>(x, y) \in \mathbb R</tex> называется скалярным проихведением произведением точек множества <tex>H</tex>, если она удовлетворяет следующим трём аксиомам:

Но <tex>f(\lambda) = (x, x)\lambda^2 + 2(x, y)\lambda + (y, y)</tex>. Из положительности неотрицательности квадратного трёхчлена вытекает, что его дискриминант не должен быть неотрицательнымположительным. Но дискриминант <tex>D</tex> равен <tex>4(x, y)^2 - 4(x, x)(y, y)</tex>, и из неравенства <tex>D \ge le 0</tex> мнгновенно мгновенно вытекает доказываемое.

Базируясь на этом неравенстве, определим функционал норму <tex>\|x\| = \sqrt{(x, x)}</tex>.  Первые два свойства, очевидно, выполняются. Проверим, что этот функционал удовлетворяет неравенству треугольника:

Доказанное неравенство треугольника превращает <tex>H</tex> в нормированное пространство. Если оно является B-пространством, то его называют '''гильбертовым пространством'''.

Имеются две классических модели таких пространств. Первое из них — это <tex>\mathbb R^n</tex> со скалярным произведением <tex>(\overline x, \overline y) = \sum\limits_{i = 1}^n x_iy_ix_i y_i</tex> и нормой <tex> ||\overline x|| = \sqrt{(\overline x, \overline x)} = \sqrt{\sum\limits_{i = 1}^n x_i^2} </tex>. Видно, что норма по скалярному произведению совпадает с евклидовской евклидовой нормой (а само пространство — с евклидовым). Осталось только доказать, что представленное пространство является полным.

Пространство последовательностей <tex>\ell^2</tex> определяется как пространство вещественных последовательностей, для которых сходится ряд из квадратов их членов, скалярное произведение на нем определяется как <tex> (x; y) = \sum\limits_{j = 1}^\infty x_jy_j </tex>.

По неравенству Шварца для <tex>\mathbb R^n</tex> (где <tex>n</tex> — произвольно): <tex>\left| \sum\limits_{j = 1}^n |x_j| \cdot |y_j\right| \le \sqrt{\sum\limits_{j = 1}^n x_j^2} \cdot \sqrt{\sum\limits_{j = 1}^n y_j^2}</tex>.

Для любого <tex>j</tex> можно записать: <tex>\|x_j^{(m)} - x_j^{(p)}\| ^2 \le \|x^{(m)} - x^{(p)}\|^2 \rightarrow 0</tex> при <tex>m, p \rightarrow \infty</tex>. Всякая последовательность координат сходится к некоторому числу, следовательно фундаментальная последовательность последовательностей покоординатно сходится к некоторой последовательности. Убедимся, что эта последовательность принадлежит <tex>\ell^2</tex> и является пределом <tex>x^{(m)}</tex> по норме.

По определению <tex>\ell^2</tex> точка <tex>(x^{(m)} - x) \in \ell^2</tex>. Но <tex>x_j x = x_jx^{(m)} - (x_jx^{(m)} - x_jx)</tex>, и<tex> x^{(m)} \in \ell^2 </tex> по условию, а <tex> x^{(m)} - x \in \ell^2</tex>, начиная с некоторого <tex>m > M</tex>, значит, из доказанной ранее алгебраической замкнутости <tex>\ell^2</tex> следует, что <tex>x \in \ell^2</tex>. Теперь можно записать неравенство <tex>(*)</tex> как <tex>\|x^{(m)} - x\| \le \varepsilon</tex>. Поскольку неравенство верно для любого <tex>m > M</tex>, то точка <tex>x</tex> является пределом последовательности <tex>x^{(m)}</tex>.

Придерживаясь идеологии представленного доказательства, можно доказать полноту <tex>C[a; b]</tex>, пользуясь неравенством: <tex> |x_{n + p}(t) - x_n(t)| \le \max_{s \in [a; b]} |x_{n + p}(s) - x_n(s)| = \| x_{n + p} - x_n \| </tex> Пространство Гильберта имеет важное понятие ортонормированной системы точек: {{Определение|definition=Пусть дана система точек <tex> l_1, \dots, l_n \in H </tex>.Она называется '''ортонормированной'''(ОНС), если:# <tex> \| l_n \| = 1 </tex># <tex>\forall n, m: n \ne m: l_n \bot l_m </tex>, то есть <tex> (l_n, l_m) = 0</tex>.}} Ортонормированная система точек <tex> \{l_n, n \in N \} </tex> линейно независима в <tex> R^n, \ell^2 </tex>. В <tex> \mathbb{R}^n </tex>, в котором система размера <tex> n + 1 </tex> - линейно зависима, ОНС может состоять из n точек. <tex> l_n = (\underbrace{0, \dots, 0}_n, 1, \dots) </tex> - ОНС, в этом смысле <tex> \ell^2 </tex> - бесконечномерно. Заметим, что, если взять <tex> n \ne m </tex> и составить норму разности <tex> \| l_n - l_m \|^2 = 2 </tex>: <tex> \overline{V}_{10}(o) = \{ x \in \ell^2: \| x \| \le 10 \} </tex>, все <tex> l_n </tex> принадлежат этому шару. Но в силу того, что <tex> \| l_n - l_m \| = \sqrt2 </tex>, то из такой последовательности невозможно выделить сходящуюся и такой шар некомпактен в <tex> \ell^2 </tex>. Один шар можно получить сдвигом и параллельным переносом из другого, значит, любой шар в <tex> \ell^2 </tex> - некомпактен. В <tex> \mathbb{R}^n </tex> - любой шар компактен, так как его можно погрузить в компактный параллелепипед. Отсутствие в <tex> \ell^2 </tex> компактности шаров - принциальное отличие бесконечномерной ситуации. Из шара можно высверлить бесконечно много дырок одинакового радиуса( <tex>R = \frac{\sqrt2}{10} </tex>), и он не развалится. <strike>''КАРТИНОЧКА''</strike> никому не нужна, вы ведь не хотите загреметь в сумасшедший дом из-за попытки представить высверливание дырок в бесконечномерном шаре? Вот и славненько. {{Определение|definition=Ряд <tex> \sum\limits_{k = 1}^{\infty} x_k </tex> является '''ортогональным''', если <tex> \forall n \ne m \Rightarrow (x_n, x_m) = 0 </tex>.}} В частности, так как <tex> l_1, \dots, l_n, \dots </tex> - ОНС в <tex> H </tex>(гильбертово), то <tex> \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \alpha_k l_k </tex> {{---}} ортогональный ряд. ===Теорема Пифагора==={{Теорема|author=Пифагор|statement=<tex>\sum\limits_{k = 1}^{\infty} x_k </tex> - сходящийся ортогональный ряд <tex> \Leftrightarrow \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \| x_k \|^2 < + \infty </tex>.При этом, если x - сумма ряда, то выполняется теорема Пифагора: <tex> \| x \|^2 = \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \| x_k \|^2 </tex>|proof=<tex> s_n = \sum\limits_{k = 1}^n x_k </tex>. Замечаем, что: <tex> { \left \| \sum\limits_{k = n}^{n + p} x_k \right \| } ^2 = \left( \sum\limits_{k = n}^{n + p} x_k, \sum\limits_{k = n}^{n + p} x_k \right) = \sum\limits_{k = n}^{n + p} \| x_k \|^2 </tex>. Отсюда, если ряд сходится, то <tex> \sum\limits_{k = n}^{n + p} x_k \to 0 </tex>, а по последней формуле, к нулю начнут стремиться <tex> \sum\limits_{k = n}^{n + p} \| x_k \|^2 </tex>, и по критерию Коши ряд сходится. В обратную сторону - очевидно по банаховости пространства.  Теорема Пифагора получается предельным переходом равенства.}} Применим теорему к ортогональному ряду из ОНС: <tex> \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \alpha_k l_k, \ \| \alpha_k l_k \|^2 = \alpha_k^2 </tex> <tex> \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \alpha_k^2 < + \infty </tex>  Возникает вопрос: всегда ли сходится описанный числовой ряд? Для ответа, как обычно, введем новые теоретические построения. {{Определение|definition=Пусть <tex> l_1, \dots, l_n, \dots </tex> - ОНС в <tex> H </tex>, <tex> x \in H</tex>, тогда <tex>\sigma (x) = \sum \limits_{k=1}^{\infty} (x, l_k)\cdot l_k</tex> {{---}} '''ряд Фурье''' точки <tex> x </tex>. При этом <tex> (x, l_k) </tex> называются коэффициентами этой точки.}} Если <tex> \sum \limits_{k=1}^{\infty} \alpha_k l_k </tex> сходится к <tex> x </tex>, то, учитывая непрерывность скалярного произведения, получаем: <tex> (x, l_n) = \sum \limits_{k = 1}^{\infty} \alpha_k (l_k, l_n) </tex> = <tex> \sum \limits_{k = 1}^{\infty} \alpha_k \delta_{k, n} = \alpha_n </tex>. Значит, если написанный ортогональный ряд сходится, то он будет рядом Фурье своей суммы. Убедимся, что любой ряд Фурье сходится, однако не всегда к той же точке <tex> x </tex>, для которой он построен. Этот факт базируется на следующем неравенстве: ===Теорема Бесселя==={{Теорема|author=Бессель|statement=<tex> \sum \limits_{k=1}^{\infty} (x, l_k)^2 \le \|x\|^2</tex>|proof=Для некоторого набора коэффициентов <tex> \beta_k </tex> рассмотрим скалярное произведение: <tex> 0 \le (x - \sum \limits_{k=1}^n \beta_k l_k, x - \sum \limits_{k=1}^n \beta_k l_k) = \|x\|^2 - 2\sum \limits_{k=1}^n \beta_k (x, l_k) + \sum \limits_{k=1}^n \beta_k^2 = </tex> <tex> = \|x\|^2 + \sum \limits_{k=1}^n (\beta_k^2 - 2(x, l_k)\beta_k) = \|x\|^2 + \sum \limits_{k=1}^n (\beta_k - (x, l_k))^2 - \sum \limits_{k=1}^n(x, l_k)^2 </tex>.Теперь, пусть <tex> \beta_k = (x, l_k) </tex>, имеем <tex> 0 \le \|x\|^2 - \sum \limits_{k=1}^n (x, l_k)^2 </tex>, устремив <tex> n </tex> к бесконечности, получим требуемое.}}