Изменения
Нет описания правки
Для простоты мы считаем, что носители в обоих матроидах одинаковы, если не так, то дополним их до объединения, заметим, что от этого <tex>M_1</tex> и <tex>M_2</tex> не перестанут быть матроидами.
Давайте зададим функцию <tex>P_1</tex> : <tex> X \times X \rightarrow X</tex>: <tex>P_1((x, y)) = x</tex>, а для матроида <tex>M = \langle X \times X, I \rangle</tex> выполняется <tex>P_1(M) = \langle X, I' = \{A \subset X|</tex> <tex>\exists B \in I : \forall x \in A</tex> <tex>\exists y \in B : P_1(y) = x\}</tex>.
Определим ещё несколько матроидов, которые нам понадобятся:
<tex>M_{\oplus} = M_1 \oplus M_2 = \langle (X \times \{1\}) \cup (X \times \{2\}),</tex><tex> I = \{A \mid A = A_1 \cup A_2, A_1 \in I_1, A_2 \in I_2\} \rangle</tex>.
Теперь перейдём к задаче. У нас есть множество и нужно проверить его независимость в объединении матроидов.
Множество <tex>U</tex> - независимо, если <tex>r(U) = |U|</tex>.
А можно заметить, что в матроиде <tex>M</tex> - выполняется <tex>r(U) = \max\limits_{A \in M_{\oplus}, A \in I_{P_1}, P_1(A) \subset U} |U|</tex>.
Т.е. мы свели задачу о проверке множества на независимость в объединении к нахождению мощности максимального независимого множества в пересечении матроидов <tex>M_{\oplus}</tex> и <tex>M_{P_1}</tex>. Мы это уже умеем делать - [[Алгоритм построения базы в пересечении матроидов]].
== Литература ==
Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В. - Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы. ISBN 978-5-8114-1068-2
