Изменения

Пусть имеется множество <tex>A</tex>, состоящее из <tex>n</tex> взвешенных точек в <tex>p</tex>-мерном пространстве. Необходимо быстро отвечать на запрос о суммарном весе точек, находящихся в <tex>p</tex>-мерном прямоугольнике <tex>(x_a,x_b),(y_a,y_b),\,...\,dots,(z_a,z_b)</tex>

Вообще говоря, с поставленной задачей справится и [[Многомерное дерево отрезков|обычное <tex>p</tex>-мерное дерево отрезков]]. Для этого достаточно на <tex>i</tex>-том уровне вложенности строить дерево отрезков по всевозможным <tex>i</tex>-тым координатам точек множества <tex>A</tex>, а при запросе использовать на каждом уровне бинарный поиск для установления желаемого подотрезка. Очевидно, запрос будет делаться за <tex>O(\log^p\,n)</tex> времени, а сама структура данных будет занимать <tex>O(n^p)</tex> памяти.

Для уменьшения количества занимаемой памяти можно провести оптимизацию <tex>p</tex>-мерного дерева отрезков. Для начала, будем использовать дерево отрезков с сохранением всего подотрезка в каждой вершине. Другими словами, в каждой вершине дерева отрезков мы будем хранить не только какую-то сжатую информацию об этом подотрезке, но и все элементы множества <tex>A</tex>, лежащие в этом подотрезке. На первый взгляд, это только увеличит объем структуры, но не все так просто. При построении будем действовать следующим образом — каждый раз дерево отрезков внутри вершины будем строить не по всем элементам множества <tex>A</tex>, а только по сохраненному в этой вершине подотрезку. Действительно, незачем строить дерево по всем элементам, когда элементы вне подотрезка уже были "исключены" «исключены» и заведомо лежат вне желаемого <tex>p</tex>-мерного прямоугольника. Такое "усеченное" «усеченное» многомерное дерево отрезков называется '''сжатым'''(англ. ''compressed'').

Рассмотрим алгоритм построения сжатого дерева отрезков на следующем примеремножества <tex>A</tex>, состоящего из <tex>4</tex>-х взвешенных точек в <tex>2</tex>-мерном пространстве (плоскости):<br>[[Файл:set_a.png]]

<tex>p=2,~~n=4,~~A:\begin{cases} (1, 3), \mbox{weight}=7 \\(2, 1), \mbox{weight}=1 \\(3, 3), \mbox{weight}=8 \\(4, 2), \mbox{weight}=5\end{cases}</tex>* Cоставим массив из всех <tex>n</tex> элементов множества <tex>A</tex>, упорядочим его по первой координате, построим на нём дерево отрезков с сохранением подмассива в каждой вершине<br>[[Файл:tree_built.png]]

* Все подмассивы в вершинах получившегося дерева отрезков упорядочим по следующей координате<br>[[Файл:sorted_y.png]]

===Псевдокод:=== build_subarray_tree'''buildSubarrayTree'''('''element[] ''' array) {: <font color=green>//построение одномерного дерева отрезков на массиве array с сохранением подмассива в каждой вершине</font> } '''buildNormalTree'''('''element[]''' array): <font color=green> // построение обычного одномерного дерева отрезков на массиве array </font> '''getInsideArray'''(vertex v): <font color=green>// получение подмассива, сохраненного в вершине vertex </font> '''buildCompressedTree'''('''element[]''' array, '''int''' coordinate = 1): <font color=green>// рекурсивная процедура построения сжатого дерева отрезков</font> '''if''' coordinate < p sort(array, coordinate) <font color=green>// сортировка массива по нужной координате </font> segmentTree = buildSubarrayTree(array); '''foreach''' v: vertex '''in''' segmentTree buildCompressedTree(getInsideArray(v), coordinate + 1); '''if''' coordinate == p sort(array, coordinate) buildNormalTree(array);

build_normal_tree==Анализ полученной структуры==Легко понять, что сжатое <tex>p</tex>-мерное дерево отрезков будет занимать <tex>O(element[] arrayn\log^{p-1}\,n) { /</построение tex> памяти: превращение обычного одномерного дерева отрезков на массиве array }  get_inside_arrayв дерево с сохранением всего подотрезка в каждой вершине будет увеличивать его размер в <tex>O(vertex\log\,n) { </tex> раз, а сделать это нужно будет <tex>p-1</получение подмассиваtex> раз. Но расплатой станет невозможность делать произвольный запрос модификации: в самом деле, сохраненного если появится новый элемент, то это приведёт к тому, что мы должны будем в вершине vertex }каком-либо дереве отрезков по второй или более координате добавить новый элемент в середину, что эффективно сделать невозможно. Что касается запроса веса, он будет полностью аналогичен запросу в обычном <tex>p</tex>-мерном дереве отрезков за <tex>O(\log^p\,n)</tex>.

build_compressed_tree(element==См. также==* [[Дерево отрезков. Построение] array, int coordinate ]* [[Многомерное дерево отрезков]]==Источники информации= 1) =* [http://e-maxx.ru/algo/рекурсивная процедура построения сжатого дерева segment_tree MAXimal :: algo :: Дерево отрезков] { if (coordinate < p) { sort(array, coordinate); * [http://ru.wikipedia.org/wiki/сортировка массива по нужной координате segment_tree = build_subarray_tree(array); for (each vertex in segment_tree) { build_compressed_tree(inside_array(each), coordinate + 1); } } if (coordinate == p) { sort(array, coordinate); build_normal_tree(array); } }%D0%94%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%BE_%D0%BE%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%BA%D0%BE%D0%B2 Википедия — Дерево отрезков]

==Анализ полученной структуры==Легко понять, что сжатое <tex>p</tex>-мерное дерево отрезков будет занимать <tex>O(n\,log^{p-1}\,n)</tex> памяти: превращение обычного дерева в дерево с сохранением всего подотрезка в каждой вершине будет увеличивать его размер в <tex>O(log\,n)</tex> раз, а сделать это нужно будет <tex>p-1</tex> раз. Но расплатой станет невозможность делать произвольный запрос модификации: в самом деле, если появится новый элемент, то это приведёт к тому, что мы должны будем в каком-либо дереве отрезков по второй или более координате добавить новый элемент в середину, что эффективно сделать невозможно. Что касается запроса веса, он будет полностью аналогичен запросу в обычном <tex>p</tex>-мерном дереве отрезков за <tex>O(log^p\,n)</tex>.<br>==Литература==[http[Категория://e-maxx.ru/algo/export_segment_tree Дерево отрезков на e-maxx.ruДискретная математика и алгоритмы]]<br>[http[Категория://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%BE_%D0%BE%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%BA%D0%BE%D0%B2 Дерево отрезков — Википедия]]