Изменения

== Теорема Харди == {{TODOТеорема| tauthor= Надо добавить теорему Харди|statement=<tex>\sum\limits_{k = 0}^\infty a_k = S</tex>(с.а.)Тогда <tex>\exists M > 0 : \forall n = 1, 2\ldots :</tex> <tex>\sum\limits_{k = n + 1}^\infty a_k^2 \leq \frac{M}n \Rightarrow \sum\limits_{k=0}^\infty a_k = S</tex>|proof=Введём важные суммы {{TODO---}} ''запаздывающие арифметические средние числового ряда''. <tex>\sum\limits_{k=0}^\infty a_k</tex> {{---}} ряд. <tex>s_n = \sum\limits_{k = 0}^n a_k</tex> {{---}} частичные суммы ряда. <tex>\sigma_n = \frac1{n + 1} \sum\limits_{k=0}^n s_k</tex> {{---}} суммы из метода средних арифметических. Тогда за <tex>\sigma_{n,k}</tex> {{---}} ''запаздывающую сумму обозначим'' <tex>\sigma_{n,k} = \frac1k\sum\limits_{j = n}^{n+k-1} s_j</tex> Заметим, что <tex>\sigma_n = \sigma_{n,n+1}</tex>. Получим некоторое выражение для этих сумм, которое понадобится в дальнейшем доказательтве. <tex>s_{j \geq n} = s_{n - 1} + (a_n + \ldots + a_j)</tex> <tex>\sigma_{n,k}</tex> <tex>= \frac1k\sum\limits_{j = n}^{n + k - 1}(s_{n - 1} + \sum\limits_{i = n}^j a_i)</tex><tex>= s_{n - 1} + \frac1k\sum\limits_{j = n}^{n + k - 1} \sum\limits_{i = n}^j a_i</tex><tex> = </tex>(в повторной сумме меняем порядок суммирования) <tex>s_{n -1} + \frac1k\sum\limits_{i = n}^{n + k - 1} \sum\limits_{j = i}^{n + k - 1} a_i</tex><tex>= s_{n - 1} + \frac1k\sum\limits_{i = n}^{n + k - 1} (n + k - i) a_i</tex> Или, что то же самое, <tex>\sigma_{n, k} = s_{n - 1} + \sum\limits_{i = n}^{n + k - 1}(1 + \frac{n - 1}k)a_i\quad(1)</tex> Запомним это. Теперь снова вернёмся к определению <tex>\sigma_{n, k}</tex>. <tex>\sigma_{n, k}= \frac1k\left(\sum\limits_{j=0}^{n+k-1}s_j - \sum\limits_{j=0}^{n-1} s_j\right)</tex><tex>= \frac1k[(n + k)\sigma_{n + k - 1} - n\sigma_{n-1}]</tex> Или, <tex>\sigma_{n,k}=\sigma_{n + k - 1} + \frac{n}k(\sigma_{n + k - 1} - \sigma_{n - 1})\quad(2)</tex> Теперь начнём, собственно, доказательство теоремы Харди. Для её доказательства нужно доказать, что <tex>s_n \to s</tex>. <tex>|s_{n - 1} - s| \leq |s_{n - 1} - \sigma_{n, k}| + |\sigma_{n, k} - s| t</tex> Оценим каждое из слагаемых отдельно. '''1 слагаемое''' <tex>|s_{n -1}-\sigma_{n, k}| \leq \sum\limits_{i=n}^{n + k-1} |1 + \frac{n - 1}k|\cdot|a_i|</tex><tex>\leq</tex> (по неравенству Коши для сумм) <tex>\left(\sum\limits_{i=n}^{n+k-1} \left(1 + \frac{n-i}k \right)^2 \right)^{1/2} \cdot \left(\sum\limits_{i=n}^{n+k-1} a_i^2\right)^{1/2}</tex> Оценим каждый множитель.  По условию теоремы, <tex>\left(\sum\limits_{i=n}^{n+k-1} a_i^2 \right)^{1/2} </tex><tex>\leq \left(\sum\limits_{i = n}^\infty a_i^2\right)^{1/2}</tex><tex>\leq \sqrt{\frac{M}{n - 1}}</tex> Второй множитель:<tex>\sum\limits_{i=n}^{n + k - 1}\left(1 + \frac{n -1}k \right)^2</tex> <tex>= \sum\limits_{j=0}^{k-1} \left(1 + \frac{-j}{k} \right)^2</tex><tex>= \frac1{k^2} \sum\limits_{l=1}^k l^2</tex><tex>= \frac1{k^2} \cdot \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6}</tex><tex>\leq Ck</tex>, <tex>c = \mathrm{const}</tex>. Итого:<tex>|s_{n-1} - \sigma_{n,k}|\leq \sqrt{Ck}\cdot\sqrt{\frac{M}{n-1}}</tex> <tex>\leq \sqrt{CM} \cdot \sqrt{\frac{k}{n-1}}</tex><tex> = \mathrm{const} \cdot \sqrt{\frac{k}{n - 1}}</tex> '''2 слагаемое'''Оценим его при помощи формулы 2. <tex>\sigma_{n,k} - s = (\sigma_{n+k-1} -s) + \frac{n}k(\sigma_{n+k-1} - \sigma{n-1})</tex> По условию теоремы, <tex>\sigma_n \to S</tex> Если <tex>\frac{n}k</tex> {{---}} ограничено, то, при <tex>n \to \infty</tex>, получаем, что <tex>|\sigma_{n, k} - s| \to 0</tex>  Вспомним оценку на первое слагаемое: <tex>|s_n - \sigma_{n, k}| \leq \sqrt{CM\frac{k}{n - 1}}</tex>  Для любого <tex>\varepsilon > 0</tex> свяжем <tex>k</tex> и <tex>n</tex> таким образом, что бы <tex>\forall n \to \infty : \sqrt{CM\frac{k}{n - 1}} < \varepsilon</tex>, <tex>CMk < \varepsilon^2(n - 1)</tex>, <tex>k \leq \frac{\varepsilon^2 CM}{n - 1}</tex> Тогда можно взять <tex>k = Сейчас всё \left\lfloor \frac{\varepsilon^2CM}{n-1} \right\rfloor</tex> При этом <tex>k</tex> будетдостигнуто <tex>|s_{n-1} - \sigma_{n, k}| < \varepsilon</tex> Легко проверить, что при этом <tex>k</tex> <tex>\frac{n}k</tex> {{---}} ограничено.  Все условия выполнены, поэтому, получаем основную оценку: <tex>|s_n - s| \leq |s_{n-1} - \sigma_{n,k}| + |\sigma_{n, k} - s| \leq 2\varepsilon</tex> Значит, <tex>S</tex> {{---}} предел частичных сумм.Теорема доказана. }} [[Категория:Математический анализ 1 курс]]