689
правок
Изменения
м
Обратоное Обратное очевидно в силу того, что в пределах промежутка сходимости ряда его можно дифференцировать. Значит, эти промежутки совпадают.
Нет описания правки
|statement=
Пусть для некоторого <tex>x_0</tex> <tex>\sum\limits_{n = 0}^{\infty} a_n x_0^n</tex> {{---}} сходится.
Тогда <tex>\forall x_1 : |x_1| < |x_0|</tex> ряд <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty |a_n x_1^n|</tex>сходится.
|proof=
<tex>|a_n x_1^n| = |a_n x_0^n| \left(\frac{|x_1|}{|x_0|}\right)^n</tex>
Так как <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n xx_0^n </tex> - сходится, то <tex> a_n x^n \to 0</tex> <tex>\Rightarrow</tex>
<tex>\exists N\ \forall n > N\ |a_n x_0^n| < 1</tex> <tex>\Rightarrow</tex>
<tex>|a_n x_1^n| < \left(\frac{|x_1|}{|x_0|}\right)^n</tex>, <tex>q = \frac{|x_1|}{|x_0|} < 1</tex>
<tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty q^n</tex> {{---}} сходится, поэтому, интересующий наш ряд мажорируется сходящимся числовым рядом <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty |a_n x_1^n|</tex>, и поэтомузначит, он тоже сходится.
}}
|proof=
1) <tex>|x| < R</tex> <tex>\Rightarrow</tex> по определению точной верхней грани,
<tex>\exists x_0 : |x| < x_0 < R</tex> , и ряд <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x_0^n</tex> сходится. Тогда по лемме Абеля получаем требуемое.
2) <tex>\exists \delta > 0 : [a; b] \subset [-\delta; \delta] \subset (-R; R)</tex>
== Произведение степенных рядов ==
По теореме о радиусе сходимости, на промежутке сходимости ряд сходится абсолютно. Если вхять взять два степенных ряда, то на общё общей части их промежутка сходимости, ряды будут абсолютно сходиться, и, значит, с ними можно делать любые арифметические действия. В частности, их можно умножать по Коши:
<tex>f(x) = \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n</tex>,
Вопрос: "Каковы будут радиусы сходимости почленно проинегрированных или продифференцированных рядов?"
Ответ: "Почленное интегрирование или дифференцирование не меняет радиуса сходимости ряда".
Поэтому, промежуток сходимости продифференцированного ряда <tex>\subset</tex> промежутку сходимости исходного ряда.
}}
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
