Изменения

Пусть <tex>V_{r}(x)</tex> {{--- }}шар в <tex>X, \quad \mathcal{F} : V_r(x) \to Y </tex>. <tex>\mathcal{F}</tex> {{--- }}дифференцируема в точке <tex>x</tex>, если существует ограниченный линейный оператор <tex>\mathcal{A} : X \to Y</tex>, который может зависеть от <tex>x</tex>, такой что : <tex>\left || \Delta x \right|| < r, (x + \Delta x \in V_r(x))</tex>

Тогда <tex>\mathcal{A}(x) = \mathcal{F}'(x)</tex> {{- --}}производная Фреше отображения <tex>\mathcal{F}</tex> в точке <tex>x</tex>.

Композиция дифференцируемых отображений, дифференцируема. Производная Фреше равна композиции производных Фреше отображений.

Правая часть этого выражения стремится к нулю, следовательно <tex>\mathcal{F}</tex> {{- --}}непрерывна в <tex>x</tex>.

<tex dpi = "140">A_{ij} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{\mathcal{F}_i(\overline{x} + h\overline{e_j}) - \mathcal{F}_i(x)}{h} = \frac{\delta partial \mathcal{F}_i}{\delta partial x_j}</tex>

Матрица, составленная из элементов <tex>A_{ij}</tex> {{- --}}матрица Якоби отображения <tex>\mathcal{F} \quad</tex> .

\frac{\delta partial \mathcal{F}_1}{\delta partial x_1} & \frac{\delta partial \mathcal{F}_1}{\delta partial x_2} &...\ldots&\frac{\delta partial \mathcal{F}_1}{\delta partial x_n}\\\frac{\delta partial \mathcal{F}_2}{\delta partial x_1} & \frac{\delta partial \mathcal{F}_2}{\delta partial x_2} &...\ldots&\frac{\delta partial \mathcal{F}_2}{\delta partial x_n}\\...\vdots&...\vdots&...\ddots&...\vdots\\\frac{\delta partial \mathcal{F}_m}{\delta partial x_1} & \frac{\delta partial \mathcal{F}_m}{\delta partial x_1} &...\ldots&\frac{\delta partial \mathcal{F}_m}{\delta partial x_n}

При <tex>n = m</tex> определитель этой матрицы {{- --}}якобиан.

Существование всех частных производных координатных функции отнюдь не гарантирует дифференцируемость <tex>\mathcal{F}</tex>. Для указания достаточных условий предварительно рассмотрим один частный случай {{--- }} дифференцирование композиций.Пусть <tex>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</tex> {{--- }}функция <tex>n</tex> переменных. <tex>y = f(x_1, x_2,...,x_n), \quad </tex>

<tex dpi = "140"> (f'(\overline{x})) = (\frac{\delta partial f}{\delta partial x_1}, \frac{\delta partial f}{\delta partial x_2},...,\frac{\delta partial f}{\delta partial x_n})</tex>

<tex = dpi = "140">g'(t) = (f'(\overline{x}))(\overline{\varphi}'(t)) = \sum\limits_{j = 1}^{n} \frac{\delta partial f}{\delta partial x_j}(\overline{x})\cdot \varphi'_{j}(t)</tex>

Пусть <tex>V</tex> {{- --}}шар в <tex>\mathbb{R}^n, \quad f : V \to \mathbb{R}</tex>. Пусть <tex>\forall x \in V \quad f(x)</tex> {{- --}}дифференцируема. Так как шар {{---}} выпуклое множество, то <tex>\overline{a}, \overline{b} \in V, \forall t \in [0,1] \quad t\overline{a}+(1-t)\overline{b} \in V</tex>

\quad g'(t) = \sum\limits_{j = 1}^{n}(a_j - b_j)\frac{\delta partial t}{\delta partial x_j}(t\overline{a} + (1-t)\overline{b})</tex>

<tex>g</tex> {{- --}}непрерывна на <tex>[0,1]</tex> и дифференцируема на нем. Значит , к ней применима формула Лагранжа конечных приращений : <tex>g(1) - g(0) = g'(\Theta), \quad \Theta \in [0,1]</tex>

<tex>f(\overline{a}) - f(\overline{b}) = \sum\limits_{j = 1}^{n}(a_j-b_j)\frac{\delta partial f}{\delta partial x_j}(\Theta\overline{a} + (1-\Theta)\overline{b}) = f'(\Theta\overline{a}+(1-\Theta)\overline{b})(\overline{a} -\overline{b})</tex>

Мы пришли к следующему обобщению формулы Лагранжа конечных приращений : пусть <tex>f</tex> {{- --}}дифференцируема в <tex>V</tex>. Тогда

Для <tex>\mathcal{F} : V \to \mathbb{R}^m, \quad V \in \mathbb{R}^n, m > 1</tex> {{- --}}формула Лагранжа становится неверной. Невозможно подобрать <tex>\Theta</tex>, обслуживающее все координатные функции сразу.

Для разных <tex>i</tex> {{- --}}разные <tex>\Theta_i</tex>. Однако формула Лагранжа допускает распространение и на абстрактную ситуацию, но в несколько другом виде.

Пусть <tex>V</tex> {{--- }}шар в <tex>\mathbb{R}^n, \quad \mathcal{F} : V \to \mathbb{R}^m \quad \mathcal{F}</tex> {{--- }}дифференцируема в каждой точке шара, тогда <tex>\forall \overline{a},\overline{b} \in V : \left|\left| \mathcal{F}(\overline{b}) - \mathcal{F}(\overline{a})\right|\right| \le M\left|\left|\overline{b}-\overline{a}\right|\right|</tex>, где <tex>M = \sum\limits_{x \in [\overline{a},\overline{b}]} \left|\left|\mathcal{F}(\overline{x})\right|\right|</tex>

Так как шар {{- --}}выпуклый, все корректно, <tex>\varphi' = \varphi</tex>. Значит, <tex>g</tex> на <tex>[0,1]</tex> удовлетворяет классической формуле Лагранжа конечных приращений : <tex>g(1) - g(t) = g'(\Theta), \quad \Theta \in (0,1)</tex>

Пусть <tex>V(a) \subset \mathbb{R}^n, \quad </tex> <tex>y = f(x_1,...,x_n)</tex>, \quad <tex>y : V \to \mathbb{R}</tex>

<tex>\forall x \in V \quad \exists \frac{\delta partial f}{\delta partial x_j}</tex>, каждая из которых, как функция переменных <tex>n</tex> переменных непрерывна в <tex>\overline{a} \quad :\lim\limitslimits_{\overline{x} \to \overline{a}}\frac{\delta partial f}{\delta partial x_j}(\overline{x}) = \frac{\delta partial f}{\delta partial x_j}(\overline{a})</tex>. Тогда существует дифференциал этой функции в точке <tex>a</tex>.

<tex dpi = "140">f(\overline{a} + \Delta\overline{a}) - f(\overline{a}) = \sum\limits_{j = 1}^{n}\frac{\delta partial f}{\delta partial x_j}(\overline{a} + \Theta\Delta a_j), \quad \Theta \in (0,1)</tex>

<tex dpi = "140">\frac{\delta partial f}{\delta partial x_j}(\overline{a} + \Theta\Delta\overline{a}) = \frac{\delta partial f}{\delta partial x_j}(\overline{a} + \alpha_j(\Delta\overline{a}))</tex>, все <tex>\alpha_j \to 0</tex> при <tex>\Delta\overline{a} \to 0</tex>

<tex>f(\overline{a} + \Delta\overline{a}) - f(\overline{a}) = \sum\limits_{j = 1}^{n}\frac{\delta partial f}{\delta partial x_j}(\overline{x})\Delta a_j + \sum\limits_{j = 1}^{n}\alpha_j(\Delta \overline{a})\cdot\Delta a_j</tex>

Нужно доказать, что вторая сумма {{- --}} <tex>o(\Delta a)</tex>, ибо первая сумма и есть формально записанный дифференциал. По неравенству Коши для сумм :