403
правки
Изменения
м
1) ==Принцип сжатия Банаха==
наведение красоты
Пусть <tex>X</tex> {{- --}} B-пространство; пусть . Пусть <tex>\overline V</tex> — {{---}} замкнутый шар в <tex>X</tex>; <tex>. {{Определение|definition= \mathcal{T\colon} : \overline V \to\overline V</tex>. Оно называется сжатием {{---}} ''сжатие'' на этом шаре<tex>V</tex>, если <tex>\exists q \in (0;1); \ \forall x',x'' \in \overline V</tex>, такое, что <tex>: \| Tx\mathcal{T}x''-Tx\mathcal{T}x' \| \le q \|x''-x'\|</tex>
{{Теорема
|author=Банах
|statement=
У любого сжимающего отображения существует неподвижная точка <tex>x^*=Tx\mathcal{T}x^*.</tex>.
|proof=
<tex>\forall x_0 \in \overline V x_{n+1}=Tx_n\mathcal{T}x_n</tex>. Тогда <tex>\|x_{n+1}-x_n\|=\|Tx_n\mathcal{T}x_n-Tx_\mathcal{T}x_{n-1}\|\le q \|x_n-x_{n-1}\|\le leq \ldots \leq q^n \|x_1-x_0\|</tex> Рассмотрим ряд<tex>x_1+\sum\limits_{k=1}^\infty (x_{k+1}-x_k)</tex> Выкинем первое слагаемое и замажорируем этот ряд геометрической прогрессией.
<tex>x_1+\sum\limits_{k=1}^\infty (x_{k+1}-x_k),\sum\limits_{k=1}^\infty \|x_{k+1}-x_k\| \le \|x_1-x_0\|\sum\limits_{k=1}^\infty q^k</tex>, <tex>0<q<1.</tex>.
Последний ряд сходится и ряд из норм тоже сходится. По свойствам рядов определим <tex>S=x_1+\sum\limits_{k=1}^\infty (x_{k+1}-x_k)</tex>. <tex>S_n=x_{n+1}</tex>. Если <tex> S_n \to S</tex>, то <tex>x_n \to S</tex>. Но любое сжатие непрерывно. Это позволяет в <tex>x_{n+1}=Tx_n</tex> перейти к пределу — <tex>S=TS</tex>. Если <tex>Tx'=x', Tx''=x''</tex>, то составим норму их разности: <tex>\|x''-x'\|=\|Tx''-Tx'\| \le q\|x''-x'\|</tex> и при <tex>\|x''-x' \| \ne 0</tex> <tex>q \ge 1</tex> — противоречие. <tex>\|x''-x' \|= 0</tex>, следовательно, <tex>x''=x'</tex>.
}}
== 2) == <tex>\overline x \in V \subset \mathbb{R}^n, \overline y \in W \subset \mathbb{R}^m</tex>; <tex>V\times W=\{(\overline x, \overline y) \in \mathbb R^{n+m},\overline x \in V, \overline y \in W\}</tex>.
<tex>f\colon V(\overline {x_0})\times W(\overline {y_0}) \to \mathbb{R}^m</tex>, <tex>f(x_0,y_0)=0^m</tex>. Существуют ли такие <tex>\delta_1,\delta_2>0</tex>, что <tex>\forall\overline x\in V_{\delta_1}(\overline{x_0})~\nexists\overline y\in W_{\delta_2}(\overline{y_0})\colon f(\overline x,\overline y)=0^m</tex>?
