315
правок
Изменения
Отмена правки 9428 участника Komarov (обсуждение) ПОПРАВИЛ???
{{Определение
|definition= <tex>\mathcal{T} : \overline V \to \overline V</tex> {{---}} ''сжатие'' на шаре <tex>V</tex>, если <tex>\exists q \in (0;1) \ \forall x',x'' \in \overline V</tex> <tex> : \| \mathcal{T}x''-\mathcal{T}x' \| \le q \|x''-x'\|</tex>}}
{{Теорема
|author=Банах
<tex>V_{\delta}(\overline{x_0}),~W_{\delta}(\overline{y_0})</tex> такие, что <tex>T_{\overline y}'(\overline x, \overline y) \le \frac 12,~\forall \overline y',\overline y'' \in W_{\delta}(\overline{y_0}),~\forall\overline x\in V_{\delta}(\overline{x_0})</tex>
По неравенству ЛагЛагранжа <tex>\|T(\overline x,\overline y'')-T(\overline x,\overline y')\| \le \sup\limits_{\overline z \in \{y',y''\}}\|T_{\overline y}'(\overline x,\overline z)\|\|\overline y''-\overline y'\|</tex>. Но по выбору шаров этот <tex>\sup \le \frac 12</tex> и, таким образом, в наших условиях <tex>\|T(\overline x,\overline y'')-T(\overline x,\overline y')\| \le \frac 12 \|\overline y''-\overline y'\|</tex>. <b>2 этап:</b> На первом этапе найден коэффициент сжатия: <tex>\frac 12</tex>. Если проверить для <tex>T</tex> условия теоремы Банаха по <tex>\overline y</tex> в пределах некоторых окрестностей начальных данных, то у <tex>T</tex> окажется единственная неподвижная точка, следовательно, она и будет значением неявного отображения и теорема будет доказана. <tex>\forall\overline x\in V_{\delta}(\overline{x_0}),~\forall \overline y, \in W_{\delta}(\overline{y_0})</tex> <tex>\overline{y_0}=T(\overline{x_0},\overline{y_0})</tex> (<tex>x_0,y_0</tex> — начальные данные). Тогда: <tex>\|T(\overline x,\overline y)-y_0\|=\|T(\overline x,\overline y)-T(\overline {x_0},\overline {y_0})\|\\=\|(T(\overline x,\overline y)-T(\overline x,\overline {y_0}))+(T(\overline x,\overline {y_0})-T(\overline {x_0},\overline {y_0}))\|\\\le\|T(\overline x,\overline y)-T(\overline x,\overline {y_0})\|+\|T(\overline x,\overline {y_0})-T(\overline {x_0},\overline {y_0})\|\le\frac 12 \|\overline y-\overline{y_0}\|+\|T(\overline x,\overline {y_0})-T(\overline {x_0},\overline {y_0})\|</tex> По непрерывности <tex>T</tex> вторая норма разности <tex>\xrightarrow{\overline x \to \overline {x_0}}0</tex>. Полагая в определении непрерывности <tex>\varepsilon=\frac{\delta}2</tex> (<tex>\delta</tex> у нас уже было выбрано), подбираем <tex>\delta':0<\delta'<\delta</tex>, так, чтобы <tex>\|\overline x - \overline{x_0}\|\le\delta' \Rightarrow \|T(\overline x,\overline{y_0})-T(\overline {x_0},\overline{y_0})\|\le\frac{\delta}2</tex>. <tex>\delta'</tex> не зависит от <tex>y</tex>! <tex>\overline x\in V_{\delta'}(\overline{x_0}),~\forall \overline y, \in W_{\delta}(\overline{y_0}): \|T(x,y)-y_0\|\le\frac 12\|y-\overline{y_0}\|+\frac 12\delta\le\frac 12\delta+\frac 12\delta=\delta:T(x,y)\in W_{\delta}(\overline{y_0})</tex> <tex>\forall\overline x\in V_{\delta}(\overline{x_0}),~\forall \overline y, \in W_{\delta}(\overline{y_0}).~T(\overline x,\cdot)\colon W_{\delta}(\overline{y_0})\to W_{\delta}(\overline{y_0})</tex> является сжатием с <tex>q=\frac 12</tex>, по теореме Банаха <tex>\exists y^*\in W_{\delta}(\overline{y_0}):\overline y^*=T(\overline x,\overline y^*)\Longleftrightarrow f(\overline x,\overline y^*)=0^m</tex>. В силу единственности такой точки неявное отображение определено. Пыщь-пыщь, щастье-радость!}}<tex>\begin{cases} f(x,y,\alpha)=0\\ g(x,y,\alpha)=0 \end{cases};</tex> отсюда — если существуют <tex>(x_0,y_0,\alpha_0)</tex>, такие, что <tex>\begin{cases} f(x_0,y_0,\alpha_0)=0\\ g(x_0,y_0,\alpha_0)=0 \end{cases};</tex> — верно и <tex>\begin{vmatrix} \frac{\delta f}{\delta x}(x_0,y_0,\alpha_0) & \frac{\delta f}{\delta y}(x_0,y_0,\alpha_0) \\ \frac{\delta g}{\delta x}(x_0,y_0,\alpha_0) & \frac{\delta g}{\delta y}(x_0,y_0,\alpha_0)\end{vmatrix}\ne 0</tex>, а сами функции <tex>f</tex> и <tex>g</tex> — непрерывны, то тогда, по доказательству теоремы, можно утверждать, что «возмущённая система уравнений»: <tex>\begin{cases} f(x_0,y_0,\alpha_0+\mathcal 4 \alpha)=0\\ g(x_0,y_0,\alpha_0+\mathcal 4 \alpha)=0 \end{cases};</tex> при некоторых <tex>\delta > 0, |\mathcal 4 \alpha|,|x-x_0|,|y-y_0|<0</tex>, <tex>\forall\alpha</tex> будет иметь единственное решение по переменным <tex>\overline x,\overline y</tex>. Выяснить этот факт для конкретной системы некоторым прямым методом, как правило, невозможно. <u>Важное следствие</u>: Пусть <tex>\exists T\colon\mathbb R^n \to\mathbb R^n ; det(T'(\overline {x_0}))\ne 0</tex>. Тогда это отображение в окрестности этой точки локально обратимо. <tex>\vartriangleright \overline y = T(\overline x),\overline {y_0} = T(\overline {x_0})</tex>. Чтобы обратить <tex>T</tex>, надо в первом равенстве полагать <tex>x</tex> неизвестным, а <tex>y</tex> — заданным. Решение такого уравнения будет (всё в некоторых окрестностях начальных данных). <tex>f(\overline x, \overline y)=\overline y - T(\overline x),f(\overline x, \overline y)=0^n</tex> <tex>T^{-1}</tex> — неявное отображение. Локальная обратимость <tex>T</tex> определена непрерывностью <tex>T</tex>, непрерывностью соответствующих частных производных и тем фактом, что <tex>f'_{\overline x}(\overline x,\overline y)=-T'(x).~det(T'(\overline {x_0}))\ne 0\Rightarrow det(f'_{\overline x}(\overline {x_0}))\Rightarrow</tex> условия теоремы о неявном отображении выполнены. <tex>\vartriangleleft</tex> То, что мы установили — нетривиальное обобщение стандартного одномерного факта: Пусть <tex>y=f(x),f'(x_0)\ne 0,f'(x)</tex> — непрерывна. Если <tex>f'(x_0)>0 \Rightarrow \exists \delta > 0: |x-x_0|\le 0 \Rightarrow f'(x)>0</tex>. Тогда на отрезке <tex>[x_0-\delta;x_0+\delta]~f</tex> возрастает и у неё существует обратная функция. Ещё одним возможным приложением неявных отображений может служить задача об условном экстремуме. <tex>z=f(\overline x, \overline y),~\overline x=(x_1,\dots x_n),~\overline y=(y_1,\dots y_m)</tex>. Пусть заданы «уравнения связи» в количестве m: <tex>\begin{cases} g_1(\overline x,\overline y)=0\\ g_2(\overline x,\overline y)=0\\ \dots\\ g_m(\overline x,\overline y)=0 \end{cases};</tex> <tex>(\overline{x_0},\overline{y_0})</tex> — условный максимум функции <tex>f</tex>, если при <tex>\overline x \approx \overline{x_0},~\overline y \approx \overline{y_0}</tex> и <tex>(\overline x,\overline y)</tex>, удовлетворяющих уравнениям связи, выполняется неравенство <tex>f(\overline x,\overline y)\le f(\overline {x_0},\overline {y_0})</tex>. Если же <tex>f(\overline x,\overline y)\ge f(\overline {x_0},\overline {y_0}),~(\overline{x_0},\overline{y_0})</tex> — условный минимум. Пример: пусть на сфере есть две точки, A и B. Тогда кратчайшее расстояние между ними — отрезок. Он будет безусловным экстремумом. Но кратчайшее расстояние между ними вдоль сферы — дуга. Это будет условным экстремумом, так как есть уравнения связи. Для того, чтобы формулировка оказалась математически корректной, надо, чтобы из системы кравнений связи <tex>\overline y</tex> могла выражаться через <tex>\overline x</tex> в некоторой окрестности <tex>(\overline {x_0},\overline {y_0})</tex>. Очевидно, что уравнения связи можно рассмотреть как задачу о неявном отображении. Тогда все g, как и их частные производные — непрерывны. Соответственно, матрица Якоби должна быть обратимой. <tex>\overline y=\phi(\overline x).~z=f(\overline x,\phi(\overline x))</tex>. Мы получили задачу на безусловный экстреммум для полученного <tex>\overline z</tex>. Т.к. практически неявно отображающую формулу не найти, то можно пытаться составлять некоторую систему соотношения для точек, подобранных для условного экстремума, исходя из инвариантности дифференциалов n-го порядка. По этой инвариантности необходимые условия экстремума: <tex>dz=0</tex> <tex>\sum\limits_{j=1}^n \frac {\delta f}{\delta x_j}(\overline x,\overline y)dx_j+\sum\limits_{i=1}^m \frac {\delta f}{\delta y_i}(\overline x,\overline y)dy_i\equiv 0\qquad (*)</tex> Но так как <tex>\overline y=\phi(\overline x)</tex>, то, в отличие от безусловного экстремума, в котором мы могли бы все частные производные приравнять к нулю и получить систему, мы так решать не можем, ибо <tex>dy_i</tex> зависит от <tex>dx_1,\dots dx_n</tex>. Но, в отличие от <tex>\phi</tex>, эту зависимость можно найти явно. У нас должны выполняться следующие условия: <tex>g_k(\overline x,\overline y)=0, k=\overline{1,m}</tex> <tex>\sum\limits_{j=1}^n \frac {\delta g_k}{\delta x_j}dx_j+\sum\limits_{i=1}^m \frac {\delta g_k}{\delta y_i}dy_i\equiv 0</tex> В результате мы получаем СЛАУ для зависимости дифференциалов. Её матрицей будет матрица Якоби <tex>g'_{\overline y}(\overline x,\overline y)</tex>. Раз она обратима в <tex>(x_0,y_0)</tex>, то по непрерывности она будет обратима в окрестности этой точки, следовательно, <tex>dy</tex> можно выразить через <tex>dx</tex>, формулы будут линейны. <tex>dy_1=\sum\limits_{j=1}^n A_{1j}dx_j</tex>. Тогда, подставляя эти форулы в <tex>(*)</tex>, получим <tex>\sum\limits_{j=1}^m B_j dx_j=0 \Rightarrow B_j=0</tex>. Мы получили систему уравнений для полученных точек, похожих на условный экстремум; которую надо решать вместе с уравнениями связи. На самом деле этому можно придать более удобную форму, придуманную Лагранжем (метод множителей Лагранжа) (но математической новизны в нём нет!) '''Метод множителей Лагранжа:'''<tex>F(\overline x,\overline y,\overline {\lambda})=f(\overline x,\overline y)+\sum\limits_{k=1}^m \lambda_k g_k(\overline x,\overline y).</tex> Далее составляем систему соотношений так, будто для <tex>F</tex> мы стали искать безусловный экстремум: <tex>\begin{cases} \frac {\delta F}{\delta x_j}=0\\ \frac {\delta F}{\delta y_i}=0\\ \frac {\delta F}{\delta \lambda_k}=0 \Longleftrightarrow g_k(\overline x,\overline y)=0\end{cases};</tex> Если всё это раскрыть, получим то, о чём мы говорили выше, но эта запись более компактна. [[Категория: Математический анализ 1 курс]]
