689
правок
Изменения
м
Рассуждение Коши, показывающее, что $ \exists f \in C^{\infty} $, но не разлагаемая Приведем пример неразложимой в ряд Тейлорафункции:
Нет описания правки
<wikitex>
== Степенные ряды ==
Пусть $ f(x) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n , \qquad R > 0 \qquad (x_0 - R; x_0 + R) $.
В силу сказанного ранее, f - бесконечно дифференцируема, все производные записываются степенными рядами с тем же радиусом сходимости:
$f^{(p)}(x_0) = p!\ a_p \Rightarrow a_p = \frac{f^{(p)}(x_0)}{p!} $
Пусть в определенной точке $ x_0 $ задана $ y = f(x) $, в точке $ x_0 $ существуют производные любого порядка.
$ \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x - x_0)^n $ - ряд Тейлора функции по степеням $ (x - x_0) $.
Если разложение возможно, то единственно. Изучается с помощью поведения остатка $ r_n(x) $.
$ f(x) = \begin{cases}0, x = 0\\e^{-\frac 1{x^2}}, x \ne 0\end{cases} $
$ e < (1 + \frac1n)^{n + \frac12} < e \cdot e^{\frac1{12n(n + 1)}} $
Рассмотрим последовательность $ a_n = \frac{n!}{n^{n + \frac12}} \cdot e^n $:
$ \frac{a_n}{a_{n + 1}} = \frac{n! e^n {(n + 1)}^{n + \frac32}}{n^{n + \frac12} (n + 1)! e^{n + 1}} = \frac{{(1 + \frac1n)}^{n + \frac12}}{e} > 1 \Rightarrow $ последовательность $ a_n $ убывает, значит, по теореме Вейерштрасса, $ \exists a = \lim\limits_{n \to \infty} a_n $, $ a \le a_n $
