689
правок
Изменения
м
ДальшеИтак, если верить моему конспектулинейный оператор, говоритсядействующий из одного конечномерного пространства в другое, всегда непрерывен. Пользуясь классическими неравенствами типа Коши, чтолегко оценить норму такого оператора: <tex>\left \| \overline y \right \| = \sqrt{\sum \limits_{j=1}^m y^{2}_j}, таким ~ y^{2}_j \le \left ( \sum \limits_{k=1}^n a_{jk}^2 \right ) \left \| \overline x \right \| ^ 2 </tex>. <tex>\left \| \overline y \right \| ^ 2 \le \sum \limits_{j=1}^m \left ( \sum \limits_{k=1}^n a_{jk}^2 \right ) \left \| \overline x \right \|</tex> <tex>\left \| \mathcal{A} \overline x \right \| \le \sqrt{\sum \limits_{k=1}^n \sum \limits_{j=1}^m a_{jk}^2} \left \| \overline x \right \|</tex> Таким образом, финальная оценка — <tex>\left \| \mathcal{A} \right \| \le \sqrt{\sum \limits_{k=1}^n \sum \limits_{j=1}^m a_{jk}^2}</tex>. Но, в общем случае, эта оценка достаточно грубая. {{Определение|definition='''Линейный функционал''' - линейный операторвида <tex> \mathcal{A}: H \rightarrow \mathbb{R} </tex>, действующий из где <tex> H </tex> - гильбертово пространство.{{TODO|t=точно так?}}}} {{Теорема|statement=Для любого <tex> x_0 \in H </tex> существует ограниченный линейный функционал <tex>f \colon H \to \mathbb{R}^n</tex>, обладающий такими свойствами:# <tex>f \left ( x_0 \right ) = \left \| x_0 \right \|</tex># <tex>\left \| f \right \| = 1</tex>|proof=Для <tex> x_0 = 0 </tex> подойдет любой линейный функционал, такой, что <tex> \|x\| = 1 </tex>, поэтому рассмотрим <tex> x_0 \ne 0 </tex>. Рассмотрим <tex>H</tex>-пространство(гильбертово). Фиксируем <tex> y \in H </tex> иопределим <tex>f\left ( x \right )=\left (x,y\right)</tex>. f — линейный функционал. По неравенству Шварца, <tex> \left | f \left ( x \right ) \right | \le \left \| y \right \| \left \| x \right \|</или в tex>, следовательно, <tex> \left \| f \right \| \le \left \| y \right \|, x = \frac y {\left \| y \right \|}, \left \| x \right \| = 1. \left | f \left ( x \right ) \right | = \left \| y \right \|</tex>. <tex>\mathbbforall ~x_0 \ne 0 \in H,~ y_0 = \frac {x_0} {R\left \| x_0 \right \|}^n, \left \| y_0 \right \| = 1</tex>. Рассмотрим <tex> f \left ( x \right ) = \left (x, y_0 \right ), \left \| f \right \| = 1.~ f \left ( x_0 \right ) = \left ( x_0, всегда непрерывен\frac {x_0} {\left \| x_0 \right \|} \right ) = \left \| x_0 \right \|</tex>. Как раз это нам и нужно. }}
Пользуясь классическими неравенствами типа Коши, легко оценить норму такого оператора: <tex>\left \| \overline y \right \| = \sqrt{\sum \limits_{j=1}^m y^{2}_j},~ y^{2}_j \le \left ( \sum \limits_{k=1}^n a_{jk}^2 \right ) \left \| \overline x \right \| ^ 2 </tex><br>
<tex>\left \| \overline y \right \| ^ 2 \le \sum \limits_{j=1}^m \left ( \sum \limits_{k=1}^n a_{jk}^2 \right ) \left \| \overline x \right \|</tex><br>
<tex>\left \| \mathcal{A} \overline x \right \| \le \sqrt{\sum \limits_{k=1}^n \sum \limits_{j=1}^m a_{jk}^2} \left \| \overline x \right \|</tex>, и, таким образом, финальная оценка — <tex>\left \| \mathcal{A} \right \| \le \sqrt{\sum \limits_{k=1}^n \sum \limits_{j=1}^m a_{jk}^2}</tex>. Но, в общем случае, эта оценка достаточно грубая.<br>
Если Л.О. действует из Н.П. X в <tex>\mathbb{R}^n</tex>, он называется линейным функционалом.<br>
Рассмотрим <tex>H</tex>-пространство (H — гильбертово). Фиксируем <tex>y \in H</tex> и определим <tex>f\left ( x \right )=\left (x,y\right)</tex>. f — линейный функционал. По неравенству Шварца <tex> \left | f \left ( x \right ) \right | \le \left \| y \right \| \left \| x \right \|</tex>, следовательно, <tex> \left \| f \right \| \le \left \| y \right \|, x = \frac y {\left \| y \right \|}, \left \| x \right \| = 1. \left | f \left ( x \right ) \right | = \left \| y \right \|</tex>.<br>
<tex>\forall ~x_0 \ne 0 \in H,~ y_0 = \frac {x_0} {\left \| x_0 \right \|}, \left \| y_0 \right \| = 1</tex>. Рассмотрим <tex> f \left ( x \right ) = \left (x, y_0 \right ), \left \| f \right \| = 1.~ f \left ( x_0 \right ) = \left ( x_0, \frac {x_0} {\left \| x_0 \right \|} \right ) = \left \| x_0 \right \|</tex><br>
<tex>\forall ~x_0 \in H~ \exists </tex> ограниченный линейный функционал <tex>f \colon H \to \mathbb{R}</tex>, обладающий такими свойствами:<br>
1) <tex>f \left ( x_0 \right ) = \left \| x_0 \right \|</tex>, 2) <tex>\left \| f \right \| = 1</tex>
Пофиксил неточности. Не используйте тег <br>, он читается хуже, чем переводы строк.
В <tex>\mathbb{R}^n</tex> сходимость покоординатная. <tex>\left | \sum \limits_{k=1}^m a_{jk} x_k \right | \le \sum \limits_{k=1}^m \left | a_{jk} \right | \left | x_k \right | \le \sqrt {\sum \limits_{k=1}^m \left | a_{jk} \right | ^ 2} \left \| \overline x \right \|</tex>, таким образом, из <tex>\overline x \to 0</tex> неизбежно следует <tex>\sum \limits_{k=1}^m a_{jk} x_k \to 0</tex>
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
