689
правок
Изменения
м
Нет описания правки
Как ранее было установлено, для функции одной переменной выполняется следующее:
<tex>y = f(x), x \in \mathbb{R};</tex> <tex>f(x)-f(x_0)=\sum \limits_{k=1}^n \frac {f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+\frac {f^{(n+1)}(x_0+\theta (x-x_0))}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}</tex>
<tex>\Delta f(x_0,\Delta x)=\sum \limits_{k=1}^n \frac {1}{k!} d^k f(x_0,\Delta x)+\frac {1}{(n+1)!}d^{n+1}f(x_0+\theta\Delta x,\Delta x)</tex>
Такую форму записи можно перенести и на функцию из n переменных: <tex>x_0</tex> переходит в <tex>\overline {x_0}</tex>, а <tex>\Delta x</tex> — в <tex>\Delta \overline x</tex>, но сначала нужно дополнить наши теоретические построения.
Определим частные производные и дифференциалы высших порядков.
<tex>\frac \partial{\partial x_j}</tex> — оператор, дифференцирующий функцию по <tex>x_j</tex>. Последовательное применение такого рода оператора даёт нам частные производные высших порядков.
Пусть <tex>z = f(x,y)</tex>. Тогда <tex>\frac \partial{\partial y} \left ( \frac {\partial f}{\partial x_j} \right )\stackrel{\mathrm{def}}{=}\frac {\partial^2 f}{\partial x \partial y}</tex> — частная производная второго порядка функции <tex>f</tex>. Дифференцирование осуществляется по переменной в знаменателе, слева направо.
В каком случае <tex>\frac {\partial^2 f}{\partial x \partial y}=\frac {\partial^2 f}{\partial y \partial x}</tex>?
Докажем теорему, отвечающую на этот вопрос для функции двух переменных, для функции n переменных можно поступить аналогично.
{{Теорема
|about=О смешанных производных
|statement=
Пусть в двумерном шаре у функции <tex>z = f(x,y)</tex> существуют смешанные производные второго порядка и каждая из них непрерывна в некоторой точке <tex>\overline a</tex> этого шара. Тогда в <tex>\overline a</tex>: <tex>\frac {\partial^2 f}{\partial x \partial y} (\overline a)=\frac {\partial^2 f}{\partial y \partial x}(\overline a)</tex>
|proof=
<tex>\Delta_x f=f(x+\Delta x,y)-f(x,y)</tex>
