1679
правок
Изменения
м
→Пространство последовательностей
Итого, <tex>\ell^2</tex> — линейное пространство с определённым выше скалярным произведением и нормой <tex>\|x\| = \sqrt{\sum\limits_{j = 1}^\infty x_j^2}</tex>. Осталось доказать полноту.
Для любого <tex>j</tex> можно записать: <tex>|x_j^{(m)} - x_j^{(p)}| ^2 \le \|x^{(m)} - x^{(p)}\|^2 \rightarrow 0</tex> при <tex>m, p \rightarrow \infty</tex>. Всякая последовательность координат сходится к некоторому числу, следовательно фундаментальная последовательность последовательностей покоординатно сходится к некоторой последовательности. Убедимся, что эта последовательность принадлежит <tex>\ell^2</tex> и является пределом <tex>x^{(m)}</tex> по норме.
Напишем неравенство:
