689
правок
Изменения
м
Считаем Так же, как и ранее, считаем, что <tex> \forall j : \frac{\partial f}{\partial x_j} \in C^0 </tex>(непрерывная)все частные производные исследуемой функции непрерывны.
<tex>y = f(x_1, x_2, \dots, x_n) $ в $ V(\overline{a}) \subset R^n </tex>
Поэтому Тогда <tex>\frac{f(\overline{a} + h \overline{e_j}) - f(\overline{a})}{h}</tex><tex>= \frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{a}) + \frac{o(h \overline{e_j})}{h}</tex> Последнее слагаемое стремится к 0 при <tex>h</tex> стремящемся к 0.Числитель дроби в левой части сохраняет знак из-за экстремальности точки <tex>a</tex>, поэтому предел слева дроби имеет разные знаки в зависимости от стремления к нулю(справа или слева), но по единственности предела: <tex>\frac{\partial f}{\partial x_j} (\overline{a}) = 0</tex>.}}
}}
Нет описания правки
{{Определение|definition=Пусть задан линейный функционал <tex>y = f(x_1, x_2, \dots, x_n) </tex> на <tex> V(\overline{a}) \subset R^n </tex>.Если при <tex>\| \Delta \overline{a} \| \le \delta</tex>, <tex>\delta \approx 0 \Rightarrow f(\overline{a} + \Delta \overline{a}) \le f(\overline{a})</tex>, то <tex>a</tex> {{---}} '''точка локального максимума'''. Аналогично определяется точка локального минимума.}}
{{Теорема
|about=Аналог теоремы Ферма
|statement=
Пусть <tex>f</tex> дифференцируема в точке локального экстремума <tex>a</tex>. Тогда <tex>\forall j = 1..n : \frac{\partial{f}}{\partial{x_j}} \overline{a} = 0</tex>
<tex>=\sum\limits_{j = 1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{a}) \Delta a_j + o(\Delta \overline{a})</tex>
Пусть <tex>\Delta \overline{a} = h \overline{e_j} :</tex> (сохраняет знак из-за экстремальности точки <tex>a</tex>) , где <tex>\frac{f(\overline{a} + h \overline{e_j}) - f(\overline{a})}{h}</tex><tex>= \frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{a}) + \frac{o(h \overline{e_j})}{h}</tex> {{---}} стремится к 0 при <tex>h</tex> стремящемся к 0базисный вектор.
Пусть <tex>y = f(\overline{x})</tex>, исследуем на экстремум в <tex>\overline{a}</tex>.
<tex>= \frac12 {\| \Delta \overline{a} \|}^2 \left( \sum\limits_{i,j = 1}^{n} A_{ij} \Delta \xi_i \Delta \xi_j +\sum\limits_{i,j = 1}^{n} \alpha_{ij} \Delta \xi_i \Delta \xi_j \right)</tex>(*)
Обращаем внимание, что <tex>\sum\limits_{i = 1}^{n} \xi_i^2 = 1</tex>, то есть <tex>\xi = (\xi_1, \dots ,\xi_n) \in \delta_n</tex> {{---}} замкнутая сфера единичного радиуса, то есть ограниченное замкнутое множество, а, значит, компактно которое является компактом в <tex>R^n</tex>.
Так как все частные производные непрерывны, то все <tex>\alpha_{ij}</tex> стремятся к 0, если <tex>\Delta a</tex> стремится к 0.
Форма является строго положительно определенной, если при <tex>\xi_i \ne 0</tex> знак суммы <tex>A_{ij} \xi_i \xi_j > 0</tex> (например,<tex>\xi_1^2 + \dots + \xi_n^2</tex>).
Будем считать, что интересующая нас форма именно такая. Но на <tex>\delta_n</tex> она {{---}} непрерывная функция, а координаты на сфере все координаты не могут быть равны нулюодновременно.
По теореме Вейерштрасса форма принимает минимальное значение <tex>m > 0</tex>.
В результате: если <tex>df(\overline{a}) = 0</tex>, а <tex>d^2 f(\overline{a}, \Delta \overline{a})</tex> как квадратичная форма строго положительно определенная, то <tex>a</tex> {{---}} точка локального минимума.
Аналогично, если квадратичная форма строго отрицательно определена, то <tex>a</tex> {{---}} точка локального максимума.
