Изменения

Пусть <tex>X</tex> {{---}} B-пространство. Пусть <tex>\overline V</tex> {{---}} замкнутый шар в <tex>X</tex>Принцип сжатия будем излагать для нормированных пространств, хотя он без изменения переносится на метрические пространства. 

|definition=Пусть <tex>X</tex> {{---}} B-пространство. Пусть <tex>\overline V</tex> {{---}} замкнутый шар в <tex>X</tex>.<br> <tex> \mathcal{T} : \overline V \to \overline V</tex> {{---}} '''сжатие''' на шаре <tex>V</tex>, если <tex>\exists q \in (0;1) \ \forall x',x'' \in \overline V</tex> <tex> : \| \mathcal{T}x''-\mathcal{T}x' \| \le q \|x''-x'\|</tex>.

У любого сжимающего отображения существует ровно одна неподвижная точка <tex>x^*=\mathcal{T}x^*</tex>.

<tex>\forall x_0 \in \overline V :\ x_{n+1}=\mathcal{T}x_n</tex>.  

Последний ряд сходится и ряд из норм тоже сходится.  По свойствам рядов определим <tex>S=x_1+\sum\limits_{k=1}^\infty (x_{k+1}-x_k)</tex>. <tex>S_n=x_{n+1}</tex>. Если <tex> S_n \to S</tex>, то <tex>x_n \to S</tex>. Но любое сжатие непрерывно(так как оно ограничено). Это позволяет в <tex>x_{n+1}=Tx_n</tex> перейти к пределу — <tex>S=TS</tex>. Получили неподвижную точку <tex> S </tex>. Допустим теперь, что существуют две различных неподвижных точки: Если <tex>Tx'=x', Tx''=x''</tex>, то составим норму их разности: <tex>\|x''-x'\|=\|Tx''-Tx'\| \le q\|x''-x'\|</tex> и при <tex>\|x''-x'\| \ne 0</tex> <tex>q \ge 1</tex> — противоречие, что противоречит условию.  Поэтому <tex>\|x''-x' \|= 0</tex>, следовательно, <tex>x''=x'</tex>.

Пусть <tex>\overline x \in V \subset \mathbb{R}^n, \overline y \in W \subset \mathbb{R}^m</tex>; , тогда рассмотрим <tex>V\times W=\{(\overline x, \overline y) \in \mathbb R^{n+m},\overline x \in V, \overline y \in W\}</tex>.

<tex>f\colon V(\overline {x_0})\times W(\overline {y_0}) \to \mathbb{R}^m</tex>, <tex>f(x_0,y_0)=0^m</tex>. Существуют ли такие <tex>\delta_1,\delta_2>0</tex>, что для любого <tex>\forall\overline x\in V_{\delta_1}(\overline{x_0})\ \exists! </tex> существует единственный <tex> \overline y\in W_{\delta_2}(\overline{y_0})\colon f(\overline x,\overline y)=0^m</tex>?

Если это так, то , в силу единственности <tex>\overline y </tex> , определяем <tex>\overline y = \phi(\overline x)</tex> на <tex>V_{\delta_1}(\overline{x_0})</tex> так, чтобы <tex>f(\overline x,\phi(\overline x))=0^m</tex>. <tex>\phi</tex> — неявное отображение, определяется как <tex>f(\overline x,\overline y)=0^m,~(x_0,y_0)\colon f(\overline{x_0},\overline{y_0})=0^m</tex>

<tex>\overline z=f(\overline x,\overline y).~\overline x \in \mathbb R^n;~y,z\in \mathbb R^m.~f_{\overline y}'</tex> — производная отображения <tex>f</tex>, при фиксированном <tex>x</tex> и варьирующемся <tex>y</tex>.

<tex>f_{\overline y}'(\overline x,\overline y)</tex> (зависит и от <tex>\overline x</tex>, и от <tex>\overline y</tex>). Непрерывность <tex>f_{\overline y}'</tex>: производная — линейный оператор, поэтому непрерывность <tex>f_{\overline y}'</tex> понимается в метрике линейного оператора:

<tex>f_{\overline y}'(\overline x,\overline y)</tex> — матрица, размером <tex>m\times m</tex>. Оператор непрерывно обратим в <tex>(\overline x,\overline y)\Longleftrightarrow</tex> , то есть, у этой матрицы этого оператора существует обратная (её детерминант не равен нулю). 

Пусть для <tex>f</tex> поставлена задача о неявном отображении, с начальными данными <tex>(x_0,y_0)</tex>. Известно, что в окрестности начальных данных<tex>f_{\overline y}'</tex> непрерывно зависит от <tex>\overline x,\overline y</tex>; и непрерывно обратима в <tex>(x_0,y_0)</tex> она непрерывно обратима. Тогда в некоторой окрестности начальных данных неявное отображение существует.

<b>1 этап:</b>  Пусть <tex>\Gamma_0=(f_{\overline y}'(\overline{x_0},\overline{y_0}))^{-1}</tex> Промежуточное утверждение: <tex>f(\overline x, \overline y)=0^m \Longleftrightarrow\ \overline y = \overline y - \Gamma_0 f(\overline x, \overline y)</tex>.  Проверим равносильность:  <tex> \Longrightarrow </tex> Пусть <tex>f(\overline x, \overline y) = 0</tex>. <tex>\Gamma_0 f(\overline x, \overline y)=\Gamma_0(0^m)=0,~\overline y = \overline y</tex> — верное в любом случае уравнение. <tex> \Longleftarrow </tex> Пусть теперь <tex>\overline y = \overline y - \Gamma_0 f(\overline x, \overline y)</tex>. Тогда <tex>\Gamma_0 f(\overline x, \overline y)=0^m. \Gamma_0=(f_{\overline y}'(\overline{x_0},\overline{y_0}))^{-1}</tex>, следовательно, <tex>det \Gamma_0 \ne 0</tex>, поэтому соответствующая однородная система уравнений будет иметь только тривиальные решения и <tex>f(\overline x, \overline y)=0^m</tex> Пусть <tex>T(\overline x, \overline y)=\overline y-\Gamma_0 f(\overline x, \overline y)</tex>, тогда <tex>\overline y = T(\overline x,\overline y)</tex>. Для фиксированного <tex> x </tex> получаем задачу на неподвижную точку для отображения <tex>T</tex> по переменной <tex>\overline y</tex> для фиксированного.

<tex>\overline y = \overline y - \Gamma_0 f(\overline x, \overline y)</tex>Воспользуемся для решения принципом сжатия Банаха. Проверим равносильность: пусть <tex>fСуществует ли (\overline x, \overline y)=0</tex>. <tex>\Gamma_0 f(\overline x, \overline y)=\Gamma_0(0^m)=0,~\overline y = \overline y</tex> — верное в любом случае уравнение.Пусть <tex>\overline y = \overline y - \Gamma_0 f(\overline x, \overline y)</tex>. Тогда <tex>\Gamma_0 f(\overline x, \overline y)=0^m. \Gamma_0=(f_{\overline y}'(\overline{x_0},\overline{y_0}))^{-1}</tex>, следовательно, <tex>det \Gamma_0 \ne 0</tex>, поэтому соответствующая однородная система уравнений будет иметь только тривиальные решения и <tex>f(\overline x, \overline yопределённых начальных данных)=0^m</tex>коэффициент сжатия?

<tex>T'=J-\Gamma_0f_y';~\Gamma_0f_y'(\overline x{x_0}, \overline y{y_0})=J</tex>. Значит, <tex>T_{\overline y-\Gamma_0 f}'(\overline x{x_0}, \overline y{y_0})=0</tex>.

По условию, <tex>f</tex> зависит от <tex>\overline y =T(\overline x,\overline y)</tex>. Нам нужно решить задачу на неподвижную точку для отображения , следовательно, <tex>T'</tex> по переменной — тоже. Тем самым, в определении непрерывности полагаем <tex>\overline y</texvarepsilon=\frac 12,\exists \delta> для фиксированного <tex>\overline x0 </tex>. Решать мы будем, применяя принцип сжатия Банаха. Существует ли (в определённых начальных данных) коэффициент сжатия?

<tex>T'=J-\Gamma_0f_y';~\Gamma_0f_y'(\overline{x_0},\overline{y_0})=J</tex>. Значит, <tex>T_{\overline y}'(\overline{x_0},\overline{y_0})=0</tex>. По условию <tex>f</tex> зависит от <tex>\overline x, \overline y</tex>, следовательно, <tex>T'</tex> — тоже. Тем самым, в определении непрерывности полагаем <tex>\varepsilon=\frac 12,\exists \delta>0\colon~\|\overline{\mathcal 4 x}\|,\|\overline{\mathcal 4 y}\| \le \delta \Rightarrow \| T_{\overline y}'(\overline{x_0}+\overline{\mathcal 4{x_0}},\overline{y_0}+\overline{\mathcal 4{y_0}})\| \le \frac 12</tex>

Возьмем <tex>V_{\delta}(\overline{x_0}),~\ W_{\delta}(\overline{y_0})</tex> такие, что при <tex>T_{\overline y}'(\overline x, \overline y) \le \frac 12,~\forall \overline y',\overline y'' \in W_{\delta}(\overline{y_0}),~\forall\overline x\in V_{\delta}(\overline{x_0})</tex>

<tex>\|T(\overline x,\overline y)-y_0\|=\|T(\overline x,\overline y)-T(\overline {x_0},\overline {y_0})\|\\=\|(T(\overline x,\overline y)-T(\overline x,\overline {y_0}))+(T(\overline x,\overline {y_0})-T(\overline {x_0},\overline {y_0}))\|\\\le\|T(\overline x,\overline y)-T(\overline x,\overline {y_0})\|+\|T(\overline x,\overline {y_0})-T(\overline {x_0},\overline {y_0})\|\le\frac 12 \|\overline y-\overline{y_0}\|+\|T(\overline x,\overline {y_0})-T(\overline {x_0},\overline {y_0})\|</tex>

По непрерывности <tex>= \|(T</tex> вторая норма разности <tex>\xrightarrow{(\overline x \to ,\overline {x_0}}0</tex>. Полагая в определении непрерывности <tex>\varepsilon=\frac{\delta}2</tex> y)-T(<tex>\delta</tex> у нас уже было выбрано), подбираем <tex>\delta':0<\delta'<\delta</tex>, так, чтобы <tex>\|\overline x - ,\overline{x_0y_0}\|\le\delta' \Rightarrow \|))+(T(\overline x,\overline{y_0})-T(\overline {x_0},\overline{y_0}))\|\le\frac{\delta}2</tex>. <tex>\delta'</tex> не зависит от <tex>y</tex>!

<tex>\overline xle\in V_{\delta'}|T(\overline{x_0})x,~\forall overline y)-T(\overline yx, \in W_{\delta}(\overline{y_0}): \|+\|T(\overline x,y)-y_0\|\le\frac 12\|y-\overline{y_0}\|+\frac 12\delta\le\frac 12\delta+\frac 12\delta=\delta:)-T(x,y)\in W_overline {\deltax_0}(,\overline{y_0})\|\le </tex>

<tex> \le \frac 12 \|\overline y-\overline{y_0}\|+\|T(\overline x,\overline {y_0})-T(\overline {x_0},\overline {y_0})\|</tex> По непрерывности, <tex>T</tex> вторая норма разности стремится к 0 при <tex> \overline x \rightarrow \overline {x_0} </tex>. Полагая в определении непрерывности <tex>\varepsilon=\frac{\delta}2</tex> (<tex>\delta</tex> у нас уже было выбрано), подбираем <tex>\delta':0<\delta'<\delta</tex>, так, чтобы <tex>\|\overline x - \overline{x_0}\|\le\delta' \Rightarrow \|T(\overline x,\overline{y_0})-T(\overline {x_0},\overline{y_0})\|\le\frac{\delta}2</tex>. <tex>\delta'</tex> не зависит от <tex>y</tex>! <tex>\forall \overline x\in V_{\delta'}(\overline{x_0}),~\forall \overline y, \in W_{\delta}(\overline{y_0}): \|T(x,y)-y_0\|\le\frac 12\|y-\overline{y_0}\|+\frac 12\delta\le\frac 12\delta+\frac 12\delta=\delta:T(x,y)\in W_{\delta}(\overline{y_0})</tex> <tex>\forall\overline x\in V_{\delta}(\overline{x_0}),~\forall \overline y, \in W_{\delta}(\overline{y_0}).~T(\overline x,\cdot)\colon W_{\delta}(\overline{y_0})\to W_{\delta}(\overline{y_0})</tex> является сжатием с <tex>q=\frac 12</tex>. Значит, по теореме Банаха <tex>\exists y^*\in W_{\delta}(\overline{y_0}):\overline y^*=T(\overline x,\overline y^*)\Longleftrightarrow f(\overline x,\overline y^*)=0^m</tex>. В силу единственности такой точки , неявное отображение определено. Пыщь-пыщь, щастье-радость!

g(x,y,\alpha)=0 \end{cases};</tex> отсюда — если  Если существуют <tex>(x_0,y_0,\alpha_0)</tex>, такие, что  <tex>\begin{cases} f(x_0,y_0,\alpha_0)=0\\ g(x_0,y_0,\alpha_0)=0 \end{cases};</tex> — верно и <tex>\begin{vmatrix} \frac{\delta f}{\delta x}(x_0,y_0,\alpha_0) & \frac{\delta f}{\delta y}(x_0,y_0,\alpha_0) \\ \frac{\delta g}{\delta x}(x_0,y_0,\alpha_0) & \frac{\delta g}{\delta y}(x_0,y_0,\alpha_0)\end{vmatrix}\ne 0</tex>, а сами функции <tex>f</tex> и <tex>g</tex> — непрерывны, то тогда, по доказательству теоремы, можно утверждать, что «возмущённая система уравнений»: <tex>\begin{cases} f(x_0,y_0,\alpha_0+\mathcal 4 \alpha)=0\\ g(x_0,y_0,\alpha_0+\mathcal 4 \alpha)=0 \end{cases};</tex> при некоторых <tex>\delta > 0, |\mathcal 4 \alpha|,|x-x_0|,|y-y_0|<0</tex>, <tex>\forall\alpha</tex> будет иметь единственное решение по переменным <tex>\overline x,\overline y</tex>. Выяснить этот факт для конкретной системы некоторым прямым методом, как правило, невозможно.А также

<u>Важное следствие</u>: Пусть <tex>\exists Tbegin{vmatrix} \frac{\delta f}{\delta x}(x_0,y_0,\colonalpha_0) & \mathbb R^n frac{\todelta f}{\mathbb R^n ; detdelta y}(T'x_0,y_0,\alpha_0) \\ \frac{\delta g}{\delta x}(x_0,y_0,\alpha_0) & \frac{\overline delta g}{\delta y}(x_0,y_0,\alpha_0)\end{vmatrix}))\ne 0</tex>. Тогда это отображение в окрестности этой точки локально обратимо.,

<tex>\vartriangleright \overline y = T(\overline x)и указанные выше частные производные непрерывны,\overline {y_0} = T(\overline {x_0})</tex>. Чтобы обратить <tex>T</tex>то, надо в первом равенстве полагать <tex>x</tex> неизвестнымпо только что доказанной теореме, а <tex>y</tex> — заданным. Решение такого уравнения будет (всё в некоторых окрестностях начальных данных). <tex>f(\overline xможно утверждать, \overline y)=\overline y - T(\overline x),f(\overline x, \overline y)=0^n</tex>что «возмущённая система уравнений»:

<tex>\begin{cases} f(x_0,y_0,\alpha_0+\mathcal 4 \alpha)=0\\ g(x_0,y_0,\alpha_0+\mathcal 4 \alpha)=0 \end{cases};</tex> при некоторых <tex>\delta > 0, |\mathcal 4 \alpha|,|x-x_0|,|y-y_0|<0</tex>, <tex>\forall\alpha</tex> будет иметь единственное решение по переменным <tex>\overline x,\overline y</tex>. Выяснить этот факт для конкретной системы некоторым прямым методом, как правило, невозможно. ===Важное следствие==={{Теорема|statement=Пусть <tex>\exists T\colon\mathbb R^n \to\mathbb R^n ; det(T'(\overline {x_0}))\ne 0</tex>. Тогда это отображение в окрестности <tex> \overline {x_0} </tex> локально обратимо.|proof=<tex> \overline y = T(\overline x),\overline {y_0} = T(\overline {x_0})</tex>. Чтобы обратить <tex>T</tex>, надо в первом равенстве полагать <tex>x</tex> неизвестным, а <tex>y</tex> — заданным. Мы хотим доказать, что решение у такого уравнения обязательно будет (всё в некоторых окрестностях начальных данных). Рассмотрим <tex>f(\overline x, \overline y)=\overline y - T(\overline x),f(\overline x, \overline y)=0^n</tex> <tex>T^{-1}</tex> — неявное отображение. Локальная обратимость <tex>T</tex> определена непрерывностью <tex>T</tex>, непрерывностью соответствующих частных производных и тем фактом, что <tex>f'_{\overline x}(\overline x,\overline y)=-T'(x).~</tex> <tex> det(T'(\overline {x_0}))\ne 0\Rightarrow det(f'_{\overline x}(\overline {x_0}))\ne 0 \Rightarrow</tex> условия теоремы о неявном отображении выполнены. , и <tex>\vartriangleleftT </tex>локально обратимо. }}

Если <tex>f'(x_0)>0 \Rightarrow \exists \delta > 0: |x-x_0|\le 0 \delta \Rightarrow f'(x)>0</tex>.  Тогда на отрезке <tex>[x_0-\delta;x_0+\delta]~f</tex> возрастает , и у неё существует обратная функция. ===Задача об условном экстремуме===

<tex>(\overline{x_0},\overline{y_0})</tex> — '''условный максимум ''' функции <tex>f</tex>, если при для всех <tex>\overline x \approx \overline{x_0},~\overline y \approx \overline{y_0}</tex> и <tex>(\overline x,\overline y)</tex>, удовлетворяющих уравнениям связи, выполняется неравенство <tex>f(\overline x,\overline y)\le f(\overline {x_0},\overline {y_0})</tex>. Если же <tex>f(\overline x,\overline y)\ge f(\overline {x_0},\overline {y_0}),~(\overline{x_0},\overline{y_0})</tex> — '''условный минимум'''.

Для того, чтобы формулировка оказалась математически корректной, надо, чтобы из системы кравнений уравнений связи <tex>\overline y</tex> могла выражаться через <tex>\overline x</tex> в некоторой окрестности <tex>(\overline {x_0},\overline {y_0})</tex>. Очевидно, что уравнения связи можно рассмотреть как задачу о неявном отображении. Тогда все g<tex> g_i </tex>, как и их частные производные — непрерывны. Соответственно, матрица Якоби должна быть обратимой.

<tex>\overline y=\phi(\overline x).~,\ \overline z=f(\overline x,\phi(\overline x))</tex>. Мы получили задачу на безусловный экстреммум для полученного <tex>\overline z</tex>. Т.к. практически неявно отображающую формулу не найти, то можно пытаться составлять некоторую систему соотношения для точек, подобранных для условного экстремума, исходя из инвариантности дифференциалов n-го порядка. По этой инвариантности необходимые условия экстремума:

На самом деле , этому можно придать более удобную форму, придуманную Лагранжем (метод множителей Лагранжа) (но математической новизны в нём нет!)