689
правок
Изменения
м
Нет описания правки
Заметим, что <tex>\sigma_n = \sigma_{n,n+1}</tex>.
Получим некоторое выражение для этих сумм, которое понадобится в дальнейшем доказательтведоказательстве.
<tex>s_{j \geq n} = s_{n - 1} + (a_n + \ldots + a_j)</tex>
<tex>= s_{n - 1} + \frac1k\sum\limits_{i = n}^{n + k - 1} (n + k - i) a_i</tex>
Или, что то же самое, <tex>\sigma_{n, k} = s_{n - 1} + \sum\limits_{i = n}^{n + k - 1}(1 + \frac{n - 1i}k)a_i\quad(1)</tex>
Запомним это. Теперь снова вернёмся к определению <tex>\sigma_{n, k}</tex>.
'''1 слагаемое'''
<tex>|s_{n -1}-\sigma_{n, k}| \leq \sum\limits_{i=n}^{n + k-1} |1 + \frac{n - 1i}k|\cdot|a_i|</tex>
<tex>\leq</tex> (по неравенству Коши для сумм)
<tex>\left(\sum\limits_{i=n}^{n+k-1} \left(1 + \frac{n-i}k \right)^2 \right)^{1/2} \cdot \left(\sum\limits_{i=n}^{n+k-1} a_i^2\right)^{1/2}</tex>
Второй множитель:
<tex>\sum\limits_{i=n}^{n + k - 1}\left(1 + \frac{n -1i}k \right)^2</tex>
<tex>= \sum\limits_{j=0}^{k-1} \left(1 + \frac{-j}{k} \right)^2</tex>
<tex>= \frac1{k^2} \sum\limits_{l=1}^k l^2</tex>
