1679
правок
Изменения
м
fuuu, мелкие баги убивают!
Левые части двух равенств выше равны, значит, равны и правые. Рассмотрим <tex>\overline a = (a,b)</tex>:
<tex>\frac {\partial^2 f}{\partial x \partial y}(a+\theta_1\Delta a,b+\theta_2 \Delta b) \Delta a \Delta b=\frac {\partial^2 f}{\partial b \partial a}(a+\theta_3\Delta a,b+\theta_4 \Delta b) \Delta a \Delta b~~\forall \Delta a,\Delta b.</tex> <tex>\theta_i \in (0,1)</tex>
В <tex>\overline a</tex> оба выражения непрерывны. Устремим <tex>\Delta a,\Delta b \to 0</tex> и по непрерывности в пределе приходим к нужной формуле.
<tex>d^{n+1}f(\overline x, \Delta \overline x)</tex><tex>=d(d^n f (\overline x, \Delta \overline x))</tex><br>
<tex>d^2 f=d\left( \frac {\partial f}{\partial x}(\overline x) \Delta x-+ \frac {\partial f}{\partial y}(\overline x) \Delta y\right)</tex><tex>=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(\overline x) \Delta x^2+2\frac{\partial^2f}{\partial x \partial y}(\overline x) \Delta x\Delta y+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(\overline x) \Delta y^2</tex>. Частные производные — непрерывны. Теперь пусть <tex>dx=\Delta x</tex>, <tex>dy=\Delta y</tex>: <tex>x=a+bt</tex>, <tex>dx=bdt</tex>
<tex>g(t)=f(a+bt,c+dt)</tex>
<tex>f(\overline a+t\Delta \overline a)-f(\overline a)=\sum \limits_{k=1}^n \frac {d^{k}f(\overline a)}{k!}+\frac {d^{n+1}f(\overline a+\theta\Delta \overline a)}{(n+1)!}</tex> — формула Тейлора для функции многих переменных.
В частности, при <tex>n=1</tex>:
<tex>f(\overline a+t\Delta \overline a)-f(\overline a)=\sum \limits_{j=1}^nm\frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline a)\Delta \overline a+\frac 1 2 \sum \limits_{i,j=1}^n m \frac {\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} (\overline a+\theta \Delta \overline a)\Delta a_i\Delta a_j</tex>
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
