689
правок
Изменения
м
Нет описания правки
Но по доказанному ранее утверждению из покоординатной сходимости следует сходимость по норме, что и требовалось доказать.
}}
{{Теорема
|about=
критерий компактности в <tex> R^n </tex>
|statement=
Множество <tex> X </tex> в <tex> R^n </tex> компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено.
|proof=
Надо бы придумать или найти доказательство. В прямую сторону - верно по свойствам компакта в произвольном метрическом пространстве. В обратную - у меня пока только такая идея: <tex> X </tex> {{---}} ограничено, значит, можно запихнуть в конечный кирпич <tex> \prod\limits_{i=1}^{n} [a_i; b_i] </tex>; для любого <tex> \varepsilon </tex> берем за <tex> \varepsilon </tex>-сеть решетку из маленьких гиперкубов-кирпичиков со стороной <tex> \varepsilon </tex>. Есть конечная <tex> \varepsilon </tex> - сеть, значит, множество <tex> X </tex> вполне ограничено(также, по условию, оно замкнуто), значит, оно - компакт.
}}
== Пространство последовательностей ==
