152
правки
Изменения
м
Нет описания правки
$ (1 + \frac1n)^n \ge \sum\limits_{k = 0}^N \frac1{k!} (1 - \frac0n) (1 - \frac1n) \dots (1 - \frac{k - 1}n) $.
Устремим <tex>n </tex> и <tex>N </tex> к бесконечности, такое что <tex>N < n </tex>: сумма конечна, следовательно, можно переходить к пределу
$ e \ge \sum\limits_{k = 0}^N \frac1{k!} $. Итого: $ (1 + \frac1n)^n \le \sum\limits_{k = 0}^n N \frac1{k!} \le e $
Итак, $ e \le \sum\limits_{k = 0}^{\infty} \frac1{k!} \le e \Rightarrow f(1) = e $
