403
правки
Изменения
Нет описания правки
Подставим $ x = x_0 $:
$f^{(p)}(x_0) = p!\ cdot a_p \Rightarrow a_p = \frac{f^{(p)}(x_0)}{p!} $
Пусть в $ x_0 $ задана $ y = f(x) $, в точке $ x_0 $ существуют производные любого порядка.
{{Определение
|definition=
$ \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x - x_0)^n $ - ряд Тейлора функции по степеням $ (x - x_0) $.
}}
Сопоставим ряд с формулой Тейлора функции, которую можно писать для любого $ n $.
$ f(x) = \sum\limits_{k = 0}^{\inftyn} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k + r_n(x) \Rightarrow $ ряд получается из формулы при $ n \to \infty $. Если $ r_n(x) \rightarrow 0 $ при $ n \rightarrow \infty $, то можно перейти к пределу.
$ f(x) = \sum\limits_{k = 0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k $, что является разложением функции в степенной ряд в точке $ x $.
