1679
правок
Изменения
м
пофиксил e^x, там был бред, теперь похоже на правду
$ (1 + \frac1n)^n \ge \sum\limits_{k = 0}^N \frac1{k!} (1 - \frac0n) (1 - \frac1n) \dots (1 - \frac{k - 1}n) $.
Устремим <tex>n</tex> и <tex>N </tex> к бесконечности. Так как число слагаемых в сумме и множителей в каждом слагаемом, такое что <tex>N < n </tex>сделаем в сумме предельный переход: сумма конечна, следовательно, можно переходить к пределу
$ e \ge \sum\limits_{k = 0}^N \frac1{k!} $. Итого: $ (1 + \frac1nfrac1N)^n N \le \sum\limits_{k = 0}^N \frac1{k!} \le e $ Теперь устремим <tex> N </tex> к бесконечности:
Итак, $ e \le \sum\limits_{k = 0}^{\infty} \frac1{k!} \le e \Rightarrow f(1) = e $
