Множество <tex> X </tex> в <tex> R^n </tex> компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено.
|proof=
Надо бы придумать или найти доказательство. В прямую сторону - верно <tex>\Longrightarrow</tex> Верно по свойствам компакта в произвольном метрическом пространстве. В обратную - у меня пока только такая идея: <tex> X \Longleftarrow</tex> {{---}} ограничено, значит, можно запихнуть В силу ограниченности поместим наше множество в конечный кирпич <tex> \prod\limits_{i=1}^{n} [a_i; b_i] </tex>; для любого <tex> \varepsilon </tex> берем за <tex> \varepsilon </tex>-сеть решетку из маленьких гиперкубовмерный параллелепипед. Докажем, что он {{---кирпичиков со стороной }} компакт.Возьмём последовательность <tex> \varepsilon a_n</tex>, принадлежащую этому параллелепипеду. Выделим сходящуюся последовательность попервой координате. Есть конечная <tex> \varepsilon </tex> - сетьИз неё выделим сходящуюся последовательность по второй координате, итд. По каждой координате эта последеовательность сходится, значит, множество по свойствам <tex> X \mathbb{R}^n</tex> вполне ограничено(такжеэта последовательность сходится. Значит, по условиюпараллелепипед {{---}} компакт. Рассмотрим последовательность в нашей фигуре. Из неё можно выделить выделить сходящуюся подпоследовательность так как она принадлежит компакту. По замкнутости её предел лежит внутри фигуры. Значит, оно замкнуто), значит, оно фигура {{--- }} компакт.
}}
