Изменения
Нет описания правки
{{Определение
|definition=
Л.о. непрерывен в X, если <tex>\lim \limits_{\mathcal {4} Delta x \to 0} \mathcal{A} \left( x + \mathcal{4}x Deltax \right) = \mathcal{A} \left( x \right) </tex>
}}
Непрерывность оператора в точке <tex>x</tex> совпадает с его непрерывностью в точке <tex>0</tex>.
|proof=
Пусть <tex> \lim\limits_{\mathcal {4} Delta x \to 0} \mathcal{A} \left( \mathcal{4}x Deltax \right) = \mathcal{A} \left( 0 \right) = 0</tex>
<tex> \left \| \mathcal{A}( x + \mathcal{4} Delta x) - \mathcal{A}(x) \right \| = \left \| \mathcal{A} \left( x \right) + \mathcal{A} \left( \mathcal{4}x Deltax \right) - \mathcal{A} \left( x \right) \right \| = \left \| \mathcal{A} \left( \mathcal{4}x Deltax \right) \right \| \xrightarrow [\mathcal{4}x Deltax \to 0]{} 0 </tex>
Значит, <tex>\mathcal{A} \left ( x + \mathcal{4} Delta x \right )\xrightarrow [\mathcal{4}x Deltax \to 0]{} \mathcal{A}(x) </tex>, и <tex> \mathcal{A} </tex> непрерывен в <tex> x </tex> по определению.
}}
|proof=
# <tex>\mathcal{A}</tex> {{---}} ограничен, значит, <tex> \left \| \mathcal{A}(x) \right \| \le m \left \| x \right \|, m \ge 0</tex>
#: <tex>\left \| \mathcal{A} \left( \mathcal {4} Delta x \right) \right \| \le m \left \| \mathcal {4} Delta x \right \| </tex>#: <tex> \mathcal{A} \left( \mathcal {4} Delta x \right) \xrightarrow [\mathcal{4}x Deltax \to 0]{} 0 </tex>.
#: А непрерывен в 0, следовательно, непрерывен и на X.
# Пусть <tex>\mathcal{A}</tex> {{---}} непрерывен на X, тогда <tex> 0 = \lim \limits_{x \to 0} \mathcal{A}(x) </tex>
#: Подставляем в определение <tex>\varepsilon = 1: ~ \exists \delta > 0: \left \| x \right \| \le \delta</tex> и, значит, при <tex>\mathcal{4}x Deltax \to 0 ~ \left \| \mathcal{A}(x) \right \| \le \varepsilon = 1</tex>
#: <tex>\forall x \ne 0</tex> рассмотрим <tex>z = \frac{\delta}{2} \frac {x}{\left \| x \right \|} </tex>. <tex> \left \| z \right \| = \frac{\delta}{2} < \delta \Rightarrow \left \| \mathcal{A}(z) \right \| \le 1 </tex>
#: Но <tex>\mathcal{A} \left ( z \right ) = \frac {\delta}{2 \left \| x \right \|} \mathcal{A}(x) </tex>. Значит, <tex> \| \mathcal{A}(z) \| = \frac {\delta}{2 \| x \|} \| \mathcal{A}(x) \| \le 1</tex>, таким образом, <tex> \| \mathcal{A}(x) \| \le \frac2{\delta} \| x \|</tex>
