355
правок
Изменения
→Производная Фреше
Пусть <tex>\mathcal{F} : V_r(x) \to Y, y = \mathcal{F}(x), \mathcal{G} : V_{r_1}(y) \to Z \quad \exists \mathcal{F}'(x), \mathcal{G}'(y), \mathcal{T} = \mathcal{G} \circ \mathcal{F}</tex>, тогда <tex>\exists \mathcal{T}'(x) = \mathcal{G}'(y)\mathcal{F}'(x)</tex>
|proof=
Доказательство копирует классическое доказательство, с заменой знака модуля на знак нормы(лень менять. Сами допишете). По определению дифференциала <tex>\Delta z = g(y_0 + \Delta y) - g(y_0) = g'(y_0)\Delta y + o(\Delta y)</tex> и <tex>\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = f'(x_0)\Delta x + o(\Delta x)</tex> <tex>g</tex> определена в окрестности точки <tex>y_0</tex>. Так как <tex>\Delta y \to 0</tex> при <tex>\Delta x \to 0</tex> и <tex>y_0 = f(x_0)</tex>, топри <tex>\Delta x \to 0</tex>, <tex>f(x_0 + \Delta x)</tex> принадлежит окрестности точки <tex>y_0</tex>. Тогда функция <tex>z = g(f(x))</tex> при <tex>x = x_0 + \Delta x, \ \Delta x \to 0</tex> корректно определена. <tex>\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)</tex> <tex>\Delta g = g(f(x_0) + (f(x_0 + \Delta x) - f(x_0))) - g(f(x_0)) = </tex><tex>g(f(x_0 + \Delta x)) - g(f(x_0)) = </tex>(по определению дифференциала для <tex>g(y)</tex>)<tex>g'(y_0)(f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)) + o(\Delta y) =</tex>(по определению дифференциала для <tex>f(x)</tex>)<tex>g'(y_0)f'(x_0)\Delta x+ g'(y_0) o(\Delta x) + o(\Delta y)</tex> Итого получаем:<tex>\Delta g = g'(y_0)f'(x_0)\Delta x + g'(y_0)o(\Delta x) + o(\Delta y)</tex> Устремляя <tex>\Delta x \to 0</tex>, получаем <tex>dz = g'(y_0)f'(x_0)\Delta x</tex> Для полного счастья осталось доказать, что <tex>o(\Delta x) = o(\Delta y)</tex>. {{TODOУтверждение|statement=<tex>o(\Delta x) = o(\Delta y)</tex>|tproof=Вот и неплохо бы скопировать его сюдаПо определению <tex>o(\Delta y)</tex>, получаем:<tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0 : \ |\Delta y| < \delta \Rightarrow \left|\frac{o(\Delta y)}{\Delta y}\right| \leq \varepsilon</tex> Последнее неравенство равносильно следующему: <tex>|o(\Delta y)| \leq \varepsilon |\Delta y|</tex> <tex>\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = f'(x_0)\Delta x + o(\Delta x) = \Delta x(f'(x_0) + o(1)) </tex>, где <tex>o(1) = \frac{o(\Delta x)}{\Delta x}</tex>, что стремится к <tex>0</tex>. Из всего этого следует, что при <tex>\Delta x \to 0</tex>, <tex>\Delta y \to 0</tex> для имеющегося <tex>\delta > 0</tex>. Так как <tex>f(x)</tex> — непрерывна, то существует <tex>\delta_1 > 0: \ |\Delta x| < \delta_1 \Rightarrow |\Delta y| < \delta\Rightarrow |o(\Delta y)| < \varepsilon |\Delta y| = \varepsilon \Delta x |f'(x_0) + o(1)|</tex>. Тогда получаем, что<tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta_1 > 0: \ |\Delta x| < \delta_1 \Rightarrowo(\Delta y) \leq M \varepsilon |\Delta x| \Rightarrow o(\Delta y) = o(\Delta x)</tex>, где <tex>M = |f'(x_0) + o(1)|</tex>.}}
}}
