689
правок
Изменения
Нет описания правки
<Сюда можно впилить долгий монолог о сложности понятия площади поверхности>
{{Теорема
|about=
Замена переменных интегрирования в двойном интеграле
|statement=
Пусть дан закон преобразования переменных,
$\begin{cases}
x & = x(u, v)\\
y & = y(u, v)\\
\end{cases}$; $E$ - квадрируемая фигура в $Oxy$, якобиан преобразования определен так же, как и ранее. Пусть $f: E \rightarrow \mathbb R$. Тогда выполняется $|E| = \iint\limits_{E}f(x, y)dxdy = \iint\limits_{E'}f(x(u, v), y(u, v))|J(u, v)|dudv $|proof=Если всё делать строго, мы утонем в некоторой дифференицальной геометрии. Будем всё делать нестрого.
Перейдем к образу: КАРТИНКА КАРТИНКА[переход к образу, все так же, как и для фигуры Е ранее] Каждая прямоугольная клетка справа является образом элементарного криволинейного параллелограмма слева. $E$ - квадрируема, значит, сумма площадей параллелограммов(а в образе - прямоугольников) на границе будет сколь угодно малой при устремлении ранга разбиения к нулю. Значит, можно принебречь суммой этих групп слагаемых в соответствующих интегральных суммах. Рассмотрим кусочек интегральной суммы, $f(p_i)|E_i|$, $p_i = (x_i, y_i)$. Как мы ранее установили, $|E_i| = \bar k_n iint\limits{E_i'}|J(u, v)|dudv$. Пусть точка $p_i'$ - образ $p_i$, для интегральной суммы образа получаем: $S = f(x'_u(u_i, v_i), y(u_i, v_i)) |J(u_i, v_i)|\Delta u_i \Delta v_i$. Сравним с исходной площадью: $\left| f(x_i, y_i)|E_i| - f(x(u_i, v_i), y(u_i, v_i)) |J(u_i, v_i)|\Delta u_i \Delta v_i \right| =$ $= f(x_i, y_i) \left| |E_i| = \iint\limits{E_i'_v}|J(u, v)|dudv - |J(u_i, v_i)|\Delta u_i \Delta v_i \right| \le$ (так как при $\operatorname{rang} \tau < \delta, \forall E_i: \left| |J(u, v)| - |J(u_i, v_i)| \right| < \varepsilon$, а $\Delta u_i \Delta v_i = \iint\limits{E_i'}dudv$) $\le f(x_i, y_i) \iint\limits{E_i'} \left| |J(u, v)| -|J(u_i, v_i)| \right|dudv \le$ (тут пара каких--}} касательный вектор к то очень мутных переходов) $l_n\le \varepsilon |E'|$ в Это выполняется для любого $(l_u \cap l_v)varepsilon > 0$, значит, теорема доказана.}} Далее будет доказана более общая и крутая теорема Фубини, которая более строго ответит на наши вопросы.
</wikitex>
