Изменения
Если вы купили Ford Mondeo, не говорите об этом математикам! Им ничего не стоит пару раз шмякнуть огромной кувалдой по вашей машинке.
[[Мера на полукольце множеств|<<]] [[Мера, порожденная внешней мерой|>>]]
{{Определение
|definition=
'''Внешняя мера''' на множестве <tex> X </tex> - неотрицательная функция, заданная на множестве всех подмножеств <tex> X </tex>, и удовлетворяющая следующим аксиомам:
1) <tex> \mu^* (\varnothing) = 0 </tex>
2) Для <tex> A \subset \bigcup\limits_{n} A_n </tex> выполняется <tex> \mu^*(A) \le \sum\limits_{n} \mu^*(A_n) </tex> (сигма-полуаддитивность)
}}
Из свойства 2) следует, что для <tex> A \subset B \quad \mu^*(A) \le \mu^*(B) </tex> {{---}} '''монотонность''' внешней меры.
Сейчас мы произведем важное построение, которое, имея меру на полукольце, позволяет строить внешнюю меру(такая внешняя мера называется порожденной).
Пусть заданы полукольцо <tex> (X; \mathcal R) </tex> и мера <tex> m </tex> на нем. Тогда для любого множества <tex> A \subset X </tex>:
1) Полагаем <tex> \mu^*(A) = + \infty </tex>, если <tex> A </tex> нельзя покрыть не более чем счетным количеством множеств из полукольца.
2) Полагаем <tex> \mu^*(A) = \inf\limits_{A \subset \bigcup\limits_{n} E_n} \sum\limits_{n} m(E_n) </tex>, в противном случае, то есть внешняя мера является нижней гранью множества мер для всех возможных покрытий <tex> A </tex> из полукольца <tex> \mathcal R </tex>.
{{Теорема
|statement=
Определенная нами <tex> \mu^* </tex> является корректной внешней мерой на <tex> X </tex>, при этом, для <tex> A \in \mathcal R, \mu^*(A) = m(A) </tex>.
|proof=
Проверим аксиомы внешней меры:
1) <tex> \varnothing \in \mathcal R </tex> по аксиомам полукольца, <tex> m(\varnothing) = 0 </tex> по аксиомам меры. <tex> \varnothing \subset \varnothing </tex>, то есть <tex> \varnothing </tex> является наименьшим покрытием <tex> \varnothing </tex>, и <tex> \mu^*(\varnothing) = 0 </tex>.
2) Пусть <tex> A \subset \bigcup\limits{n} A_n, A, A_n \subset X </tex>.
Возможны различные варианты:
а) Хотя бы одно из множеств <tex> A_n </tex> не покрывается элементами полукольца(пусть <tex> A_{n_0} </tex>). Тогда <tex> \mu^*(A_{n_0}) = + \infty </tex>, и требуемое неравенство всегда верно и ужасно тривиально.
б) Все <tex> A_n </tex> покрываются элементами полукольца. Тогда для любого <tex> n\ \mu^*(A_n) = \inf\limits{A_n \subset \bigcup\limits_{p} E_{n_p}} \sum\limits_{p} m(E_{n_p}) </tex>, где все <tex> E_{n_p} </tex> принадлежат полукольцу.
Если внешняя мера хотя бы одного из множеств <tex> A_n </tex> равна <tex> + \infty </tex>, то неравенство опять всегда верно.
В противном случае, по определению нижней грани, для <tex> \frac{\varepsilon}{2^n} </tex> подбираем покрытие <tex> A_n \subset \bigcup\limits_{p} E_{n_p} </tex> так, чтобы <tex> \sum\limits_{p} m(E_{n_p}) < \mu^*(A_n) + \frac{\varepsilon}{2^n} </tex>.
<tex> A \subset \bigcup\limits_{n} A_n \subset \bigcup\limits_{n}\bigcup\limits_{p} E_{n_p} </tex>
, значит,
<tex> \mu^*(A) \le \sum\limits_{n}(\sum\limits_{p} m(E_{n_p})) \le </tex> (используя предыдущее неравенство)
<tex> \le \sum\limits_{n} (\mu^*(A_n) + \frac{\varepsilon}{2^n}) = \sum\limits_{n} \mu^*(A_n) + \varepsilon \sum\limits_{n} \frac{1}{2^n} \le \sum\limits_{n} \mu^*(A_n) + \varepsilon </tex>.
Итак, <tex> \mu^*(A) \le \sum\limits_{n} \mu^*(A_n) + \varepsilon </tex>, что при <tex> \varepsilon \rightarrow 0 </tex> дает нам нужный результат.
}}
[[Мера на полукольце множеств|<<]] [[Мера, порожденная внешней мерой|>>]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]
{{Определение
|definition=
'''Внешняя мера''' на множестве <tex> X </tex> - неотрицательная функция, заданная на множестве всех подмножеств <tex> X </tex>, и удовлетворяющая следующим аксиомам:
1) <tex> \mu^* (\varnothing) = 0 </tex>
2) Для <tex> A \subset \bigcup\limits_{n} A_n </tex> выполняется <tex> \mu^*(A) \le \sum\limits_{n} \mu^*(A_n) </tex> (сигма-полуаддитивность)
}}
Из свойства 2) следует, что для <tex> A \subset B \quad \mu^*(A) \le \mu^*(B) </tex> {{---}} '''монотонность''' внешней меры.
Сейчас мы произведем важное построение, которое, имея меру на полукольце, позволяет строить внешнюю меру(такая внешняя мера называется порожденной).
Пусть заданы полукольцо <tex> (X; \mathcal R) </tex> и мера <tex> m </tex> на нем. Тогда для любого множества <tex> A \subset X </tex>:
1) Полагаем <tex> \mu^*(A) = + \infty </tex>, если <tex> A </tex> нельзя покрыть не более чем счетным количеством множеств из полукольца.
2) Полагаем <tex> \mu^*(A) = \inf\limits_{A \subset \bigcup\limits_{n} E_n} \sum\limits_{n} m(E_n) </tex>, в противном случае, то есть внешняя мера является нижней гранью множества мер для всех возможных покрытий <tex> A </tex> из полукольца <tex> \mathcal R </tex>.
{{Теорема
|statement=
Определенная нами <tex> \mu^* </tex> является корректной внешней мерой на <tex> X </tex>, при этом, для <tex> A \in \mathcal R, \mu^*(A) = m(A) </tex>.
|proof=
Проверим аксиомы внешней меры:
1) <tex> \varnothing \in \mathcal R </tex> по аксиомам полукольца, <tex> m(\varnothing) = 0 </tex> по аксиомам меры. <tex> \varnothing \subset \varnothing </tex>, то есть <tex> \varnothing </tex> является наименьшим покрытием <tex> \varnothing </tex>, и <tex> \mu^*(\varnothing) = 0 </tex>.
2) Пусть <tex> A \subset \bigcup\limits{n} A_n, A, A_n \subset X </tex>.
Возможны различные варианты:
а) Хотя бы одно из множеств <tex> A_n </tex> не покрывается элементами полукольца(пусть <tex> A_{n_0} </tex>). Тогда <tex> \mu^*(A_{n_0}) = + \infty </tex>, и требуемое неравенство всегда верно и ужасно тривиально.
б) Все <tex> A_n </tex> покрываются элементами полукольца. Тогда для любого <tex> n\ \mu^*(A_n) = \inf\limits{A_n \subset \bigcup\limits_{p} E_{n_p}} \sum\limits_{p} m(E_{n_p}) </tex>, где все <tex> E_{n_p} </tex> принадлежат полукольцу.
Если внешняя мера хотя бы одного из множеств <tex> A_n </tex> равна <tex> + \infty </tex>, то неравенство опять всегда верно.
В противном случае, по определению нижней грани, для <tex> \frac{\varepsilon}{2^n} </tex> подбираем покрытие <tex> A_n \subset \bigcup\limits_{p} E_{n_p} </tex> так, чтобы <tex> \sum\limits_{p} m(E_{n_p}) < \mu^*(A_n) + \frac{\varepsilon}{2^n} </tex>.
<tex> A \subset \bigcup\limits_{n} A_n \subset \bigcup\limits_{n}\bigcup\limits_{p} E_{n_p} </tex>
, значит,
<tex> \mu^*(A) \le \sum\limits_{n}(\sum\limits_{p} m(E_{n_p})) \le </tex> (используя предыдущее неравенство)
<tex> \le \sum\limits_{n} (\mu^*(A_n) + \frac{\varepsilon}{2^n}) = \sum\limits_{n} \mu^*(A_n) + \varepsilon \sum\limits_{n} \frac{1}{2^n} \le \sum\limits_{n} \mu^*(A_n) + \varepsilon </tex>.
Итак, <tex> \mu^*(A) \le \sum\limits_{n} \mu^*(A_n) + \varepsilon </tex>, что при <tex> \varepsilon \rightarrow 0 </tex> дает нам нужный результат.
}}
[[Мера на полукольце множеств|<<]] [[Мера, порожденная внешней мерой|>>]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]
