271
правка
Изменения
Нет описания правки
Верно и обратное утверждение.
|proof=
Так как <tex>\ d_{n-k} \le d_{n-k+1} \le .... \le d_n </tex> и <tex>\ d_{n-k} \ge n-k </tex>, то мы уже получаем <tex>\ d_{n-k}, d_{n-k+1}, ...., d_n = k + 1 </tex> вершин, удовлетворяющих нашему требованию. Если степени некоторых вершин, предшествующих <tex>\ n-k </tex>, равны <tex>\ d_{n-k} </tex>, то число вершин, подходящих нашему требованию, превышает <tex>\ k+1 </tex> . <br>
Доказательство в обратную сторону: <br>
Пусть у нас есть <tex>\ n </tex> вершин. Из них <tex>\ k+p (p > 0)</tex> вершин имеют степень не меньше <tex>\ n-k </tex>. Расположим вершины в неубывающем порядке их степеней. Получим : <tex>\ d_n \ge n-k, d_{n-1} \ge n-k, ..., d_{n-k} \ge n-k, ... , d_{n-k-p+1} \ge n-k </tex>. Если <tex> p = 1 </tex>, то <tex> n-k-p+1 = n-k </tex>. Отсюда видно, что <tex>\ d_{n-k} \ge n-k </tex>.
