Изменения
Отмена правки 1159 участника 192.168.0.2 (обсуждение)
Пусть <tex>p=\frac{2K}{2^k}</tex>.
* если <tex>|S|<K</tex> , то <tex>|h(s)| < \frac{p \cdot 2^k}{2} = K \Rightarrow P(V(x) = [x \in L]) \le p/2</tex>, то есть в этом случае <tex>V</tex> ошибется с вероятностью не более <tex>\frac{p}{2}</tex>;
* если <tex>|S|>2K</tex>, и <tex>|S|<2^{k-1}</tex>, то поступим следующим образом. Мы хотим, чтобы выполнялось: <mathtex>\P_{h,y}(\exists s: h(s)=y) \ge \frac{3}{4} \cdot \frac{|s|}{2K}</tex> . Обозначим как <tex>E_s</tex> событие <tex>h(s)=y</tex>. Рассмотрим <tex>y \in 2^m</tex>. <texmath>P_{h}(\exists s: h(s)=y) = P_{h}(y \in \bigcup \limits_{s}h(s))=P_{h}(\bigcup \limits_{s}E_s) \ge \sum_{j}P(E_s)-\sum \limits_{s_1 \ne s_2}P(E_{s_1} \bigcap E_{s_2})= \frac{|s|}{2^k}-\frac{1}{2}|s|^{2}\frac{1}{2^{2k}}=|s|\frac{1}{2^k}\left ( 1 - \frac{|s|}{2^{k+1}} \right )</math>
Заметим, что <tex>|s|\frac{1}{2^k} > p</tex>, а <tex>\frac{|s|}{2^{k+1}} < \frac{1}{4}</tex>. Итак, действительно, <tex>P_{h}(\exists s: h(s)=y) > \frac{3}{4}p</tex>, т.е. в этом случае <tex>V</tex> примет слово с вероятностью <tex>\frac{3}{4}p > \frac{p}{2}</tex>.
Теперь, выберем <tex>K</tex>: <tex>K = \frac{1}{3}2^{P(|x|)}</tex>. Итак, <tex>IP \subset AM</tex>. Теорема доказана.
