Изменения
→Специализация алгоритма для генерации следующего сочетания
== Алгоритм ==
{{Определение|definition= '''Получение следующего объекта''' {{---}} это нахождение объекта, следующего за данным в [[Лексикографический порядок|лексикографическом порядке]].
}}
Объект <tex>Q</tex> называется следующим за <tex>P</tex>, если <tex>P < Q</tex> и не найдется такого <tex>R</tex>, что <tex>P < R < Q</tex>.
Отсюда понятен алгоритм:
* находим суффикс минимальной длины, который можно изменить без изменения префикса текущего объекта <tex>P</tex>,
* к оставшейся части дописываем минимальный возможный элемент (чтобы было выполнено правило <tex>P < Q</tex>),
* дописываем минимальный возможный хвост.
По построению получаем, что <tex>Q</tex> {{---}} минимально возможный.
== Специализация алгоритма для генерации следующего битового вектора ==
* Находим минимальный суффикс, в котором есть <tex>0</tex>, его можно увеличить, не меняя оставшейся части
* Вместо <tex>0</tex> записываем <tex>1</tex>
* Дописываем минимально возможный хвост из нулей
'''int[]''' nextVector('''int[]''' a): <font color=green>// <tex>n</tex> {{---}} длина вектора</font>
'''while''' (n >= 0) '''and''' (a[n] != 0)
a[n] = 0
n--
'''if''' n == -1
'''return''' ''null''
a[n] = 1
'''return''' a
Приведённый алгоритм эквивалентен прибавлению единицы к битовому вектору.
=== Пример работы ===
{| class="wikitable" border = 1
|0||1||0||1||style="background:#FFCC00"|1||исходный битовый вектор
|-
| || || || ||^|| начинаем идти с конца
|-
|0||1||0||style="background:#FFCC00"|0||style="background:#FFCC00"|0|| пока элементы равны 1, заменяем их на 0
|-
|0||1||style="background:#FFCC00"|1||0||0|| меняем первый не удовлетворяющий условию цикла элемент на 1
|-
|'''0'''||'''1'''||'''1'''||'''0'''||'''0'''||следующий битовый вектор
|}
== Специализация алгоритма для генерации следующей перестановки ==
* Двигаясь справа налево, находим элемент, нарушающий убывающую последовательность (в обычном порядке, слева направо, см. пример)
* Меняем его с минимальным элементом, большим нашего, стоящим правее
* Перевернем правую часть
'''int[]''' nextPermutation('''int[]''' a): <font color=green>// <tex>n</tex> {{---}} длина перестановки</font>
'''for''' i = n - 2 '''downto''' 0
'''if''' a[i] < a[i + 1]
min = i + 1;
'''for''' j = i + 1 '''to''' n - 1
'''if''' (a[j] < a[min]) '''and''' (a[j] > a[i])
min = j
swap(a[i], a[min])
reverse(a, i + 1, n - 1)
'''return''' a
'''return''' ''null''
=== Пример работы ===
{| class="wikitable" border = 1
|1||3||style="background:#FFCC00"|2||5||style="background:#FFCC00"|4||исходная перестановка
|-
| || ||^|| || ||находим элемент, нарушающий убывающую последовательность
|-
| || || || ||^||минимальный элемент больше нашего
|-
|1||3||style="background:#FFCC00"|4||5||style="background:#FFCC00"|2||меняем их местами
|-
|1||3||4||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|5||разворачивам правую часть
|-
|'''1'''||'''3'''||'''4'''||'''2'''||'''5'''||следующая перестановка
|}
== Специализация алгоритма для генерации следующей мультиперестановки ==
* Двигаясь справа налево, находим элемент, нарушающий убывающую последовательность (в обычном порядке, слева направо, см. пример).
* Меняем его с минимальным элементом, большим нашего, стоящим правее.
* Переворачиваем правую часть.
'''int[]''' nextMultiperm('''int[]''' b): <font color=green>// <tex>n</tex> {{---}} длина мультиперестановки</font>
i = n - 2
'''while''' (i >= 0) '''and''' (b[i] >= b[i + 1])
i--
'''if''' i >= 0
j = i + 1
'''while''' (j < n - 1) '''and''' (b[j + 1] > b[i])
j++
swap(b[i] , b[j])
reverse(b, i + 1, n - 1)
'''return''' b
'''else'''
'''return''' ''null''
=== Пример работы ===
{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3||1||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|3||Исходная перестановка.
|-
| || || || ||^|| ||Находим элемент, нарушающий убывающую последовательность.
|-
| || || || || ||^||Минимальный элемент больше нашего.
|-
|1||2||3||1||style="background:#FFCC00"|3||style="background:#FFCC00"|2||Меняем их местами.
|-
|'''1'''||'''2'''||'''3'''||'''1'''||'''3'''||'''2'''||Следующая мультиперестановка.
|}
== Специализация алгоритма для генерации следующего сочетания ==
* Добавим в конец массива с сочетанием <tex>N+1</tex> – максимальный элемент.
* Пойдём справа налево. Будем искать номер элемента, который отличается от предыдущего на <tex>2</tex> и больше.
* Увеличим найденный элемент на <tex>1</tex>, и допишем в конец минимально возможный хвост, если такого элемента нет – на вход было дано последнее сочетание.
'''int[]''' nextChoose('''int[]''' a, '''int''' n, '''int''' k): <font color=green>// <tex>n,k </tex> {{---}} параметры сочетания</font>
'''for''' i = 0 '''to''' k - 1
b[i] = a[i]
b[k] = n + 1
i = k - 1
'''while''' (i >= 0) '''and''' (b[i + 1] - b[i] < 2)
i--
'''if''' i >= 0
b[i]++
'''for''' j = i + 1 '''to''' k - 1
b[j] = b[j - 1] + 1
'''for''' i = 0 '''to''' k - 1
a[i] = b[i]
'''return''' a
'''else'''
'''return''' ''null''
=== Пример работы ===
{| class="wikitable" border = 1
|1||2||5||6||style="background:#FFCC00"|'''7'''||Дописываем 7 в конец сочетания.
|-
|1||style="background:#FFCC00"|2||5||6||'''7'''||
|-
| ||^|| || || ||Находим элемент i, a[i + 1] - a[ i ] >= 2
|-
|1||style="background:#FFCC00"|3||5||6||'''7'''||Увеличиваем его на 1.
|-
|1||3||style="background:#FFCC00"|4||style="background:#FFCC00"|5||style="background:#FFCC00"|'''6'''||Дописываем минимальный хвост.
|-
|'''1'''||'''3'''||'''4'''||'''5'''||''' '''||Следующее сочетание.
|}
== Специализация алгоритма для генерации следующего разбиения на слагаемые ==
Рассматриваемый алгоритм находит следующее [[комбинаторные объекты|разбиение на слагаемые]], при этом разбиение упорядоченно по возрастанию.
* Увеличим предпоследнее слагаемое на <tex>1</tex>, уменьшим последнее слагаемое на <tex>1</tex>.
** Если предпоследнее слагаемое стало больше последнего, то увеличиваем предпоследнее слагаемое на величину последнего.
** Если предпоследнее слагаемое умноженное на 2 меньше последнего, то разбиваем последнее слагаемое <tex>s</tex> на два слагаемых <tex>a</tex> и <tex>b</tex> таких, что <tex>a</tex> равно предпоследнему слагаемому, а <tex>b = s - a</tex>. Повторяем этот процесс, пока разбиение остается корректным, то есть предпоследнее слагаемое хотя бы в два раза меньше последнего.
<code>
<font color=green>// <tex>b</tex> {{---}} список, содержащий разбиение данного числа <tex>b.size</tex>{{---}} его размер </font>
'''list<int>''' nextPartition('''list<int>''' b):
b[b.size - 1]--
b[b.size - 2]++
'''if''' b[b.size - 2] > b[b.size - 1]
b[b.size - 2] += b[b.size - 1]
b.remove(b.size - 1)
'''else'''
'''while''' b[b.size - 2] * 2 <= b[b.size - 1]
b.add(b[b.size - 1] - b[b.size - 2])
b[b.size - 2] = b[b.size - 3]
'''return''' b
</code>
=== Пример работы ===
{| class="wikitable" border = 1
|1||style="background:#FFCC00"|1||style="background:#FFCC00"|7|| || ||Прибавим 1 + 1, вычтем 7 - 1.
|-
|1||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|6|| || ||Проверяем: 2 < 6, значит разбиваем 6 пока оно не станет меньше 4
|-
|1||2||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|4|| ||
|-
|1||2||2||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|2||
|-
|'''1'''||'''2'''||'''2'''||'''2'''||'''2'''||Следующее разбиение на слагаемые числа 9.
|}
{| class="wikitable" border = 1
|1||style="background:#FFCC00"|4||style="background:#FFCC00"|5||Прибавим 4 + 1, вычтем 5 - 1.
|-
|1||style="background:#FFCC00"|5||style="background:#FFCC00"|4||Проверяем: 5 > 4, значит прибавим к 5 + 4.
|-
|1||9||style="background:#FFCC00"|4||Удалим последний элемент.
|-
|'''1'''||'''9'''||||Следующее разбиение на слагаемые числа 10.
|}
== Специализация алгоритма для генерации следующего разбиения на подмножества ==
Рассмотрим множество первых n натуральных чисел:<tex>N_n = \{1, 2, ..., n\}</tex>
Упорядочим все разбиения на множества <tex>N_n</tex> лексикографически. Для этого, во-первых, в каждом разбиении упорядочим множества лексикографически. Будем говорить, что подмножество <tex> A \subset N_n </tex> лексикографически меньше подмножества <tex> B \subset N_n </tex> , если верно одно из следующих условий:
*существует <tex>i</tex> такое, что <tex>i \in A</tex> , <tex>i \notin B</tex>, для всех <tex>j < i: j \in A</tex> если и только если <tex>j \in B</tex> , и существует <tex>k > i</tex> такое что <tex>k \in B</tex>;
* <tex> A \subset B </tex> и <tex>i < j</tex> для всех <tex>i \in A</tex> и <tex>j \in B</tex> \ <tex> A </tex>.
Разбиения упорядочены лексикографически следующим образом. Разбиение <tex>N_n = A_1 \cup A_2 \cup . . . \cup A_k</tex> лексикографически меньше разбиения <tex>N_n = B_1 \cup B_2 \cup . . . \cup B_l</tex> если существует такое <tex>i</tex>, что <tex>A_1 = B_1, A_2 = B_2, . . . ,A_{i - 1} = B_{i - 1}, A_i < B_i</tex>.
'''Рассмотрим алгоритм нахождения лексикографически следующего разбиения на подмножества:'''
*Будем хранить подмножества в списке списков, например, разбиение <tex> \{1, 2, 3\}~ \{4, 5\}</tex> будет выглядеть так:
{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3
|-
|4||5||
|}
* Двигаясь снизу вверх и справа налево, будем удалять элементы, записывая их в отдельный массив. Будем повторять эту операцию, пока не сможем выполнить одно из действий, описанных ниже:
** Заменить рассматриваемый элемент уже удаленным. Из всех подходящих элементов выбираем минимальный. '''Важное замечание''': мы не можем заменить первый элемент подмножества, мы можем только удалить его.
** Дополнить рассматриваемое подмножество уже удаленным элементом. Из всех подходящих элементов выбираем минимальный.
* Допишем лексикографически минимальный хвост подмножеств из оставшихся элементов.
<code>
'''list<list<int>>''' nextSetPartition('''list<list<int>>''' a):
<font color=green>// <tex>a</tex> {{---}} список, содержащий подмножества</font>
<font color=green>// <tex>used</tex> {{---}} список, в котором мы храним удаленные элементы</font>
used = '''list<int>'''
fl = ''false''
'''for''' i = a.size - 1 '''downto''' 0
'''if''' (used.size != 0) '''and''' (used[used.size - 1] > a[i][a[i].size - 1]) <font color=green>// если можем добавить в конец подмножества элемент из <tex>used</tex></font>
a[i].add(used[used.size - 1]) <font color=green>//добавляем</font>
used.remove(used.size - 1)
'''break'''
'''for''' j = a[i].size - 1 '''downto''' 0
'''if''' (used.size != 0) '''and''' (j != 0) '''and''' (used[used.size - 1] > a[i][j]) <font color=green>//если можем заменить элемент, другим элементом из списка <tex>used</tex> </font>
a[i][j] = used[used.size - 1] <font color=green>//заменяем</font>
fl = ''true''
'''break'''
'''if''' fl '''break'''
used.add(a[i][j]) <font color=green>//добавляем в <tex>used</tex> <tex>j</tex> элемент <tex>i</tex>-го подмножества</font>
a[i].remove(j) <font color=green>//удаляем <tex>j</tex> элемент <tex>i</tex>-го подмножества</font>
<font color=green>//далее выведем все получившиеся подмножества</font>
sort(used)
'''for''' i = 0 '''to''' used.size - 1
a.add('''list<int>'''(used[i])) <font color=green>//добавляем лексикографически минимальных хвост</font>
'''return''' a
</code>
=== Пример работы ===
'''Рассмотрим следующее разбиение:'''
{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3
|-
|4||5||
|}
'''1 Шаг:'''
{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3||
|-
|4||style="background:#FFCC00"|5||||
|-
| ||^|| ||Удалили элемент 5.
|-
| || || ||used
|}
'''2 Шаг:'''
{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3||
|-
|style="background:#FFCC00"|4|| ||||
|-
|^|| || ||Удалили элемент 4. Так как он является первым в подмножестве, то мы не можем заменить его на другой.
|-
|5|| || ||used
|}
'''3 Шаг:'''
{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3||style="background:#FFCC00"|4||
|-
| || || ||^||Дополнили первое подмножество элементом 4
|-
|5|| || || ||used
|}
'''4 Шаг:'''
{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3||4||
|-
|style="background:#FFCC00"|5|| || || ||Дописали лексикографически минимальный хвост
|-
| || || || ||used
|}
== См.также ==
* [[Получение предыдущего объекта]]
* [[Получение объекта по номеру]]
* [[Получение номера по объекту]]
== Источники информации ==
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/combinations/permutations-2000 Визуализатор перестановок]
* [http://cppalgo.blogspot.com/2011/02/episode-2.html Пример компактного кода для перестановок (С++)]
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Комбинаторика]]
