Изменения

Пусть <tex>*</tex> {{--- }} бинарная операция в группе <tex>G</tex>. Рассмотрим некоторый элемент <tex>g \in G</tex> и функцию <tex>f_g : G \rightarrow G, f_g(x) = g*x</tex>. Вследствие существования обратного к <tex>f_g</tex> {{---}} перестановка, так как для любых <tex>x, y</tex> таких, что <tex>x \neq y</tex> верно, что <tex>g*x \neq g*y</tex> элемента Если <tex>f_g</tex> {{---}} перестановка, то <tex>f_{g^{-1}}</tex>{{---}} обратная перестановка, у этой функции есть обратная к ней где <tex>fg^{-1}_g</tex> {{---}} обратный элемент <tex>g</tex> в группе <tex>G</tex>Если <tex>e</tex> {{---}} нейтральный (относительно бинарной операции <tex>*</tex>) элемент в группе, и поэтому то <tex>f_e</tex> {{---}} тождественная перестановка.Таким образом множество всех функций <tex>K = \{f_g: g \in G\}</tex> {{-- перестановка-}} подгруппа симметрической группы.

Рассмотрим множество <tex>K = \{f_g : g \in G\}</tex>. По доказанному выше, оно является подгруппой симметрической группы. Осталось доказать, что <tex>G</tex> и <tex>K</tex> изоморфны. Для этого рассмотрим функцию <tex>T : G \rightarrow K,\, T(x) = f_x</tex>. Заметим, что

Действительно, для всех <tex>x \in G \quad(f_g \circ f_h)(x) = f_g(f_h(x)) = f_g(h * x) = g*(h*x) = (g*h)*x = f_{(g*h)}(x)</tex>, а тогда <tex>T(g)\circ T(h) = f_g \circ f_h = f_{(g*h)} = T(g*h)</tex>.  Значит <tex>T</tex> {{---}} гомоморфизм.

То есть <tex>T</tex> - гомоморфизми биекция, а значит изоморфизм <tex>G</tex> и <tex>K</tex> установлен.}}==Примеры== Тривиальным примером и иллюстрацией для данной теоремы является группа <tex> \mathbb Z_3</tex> {{---}} группа остатков по модулю 3, с бинарной операцией сложения по модулю 3. Пусть <tex>\ \varphi :\mathbb{Z}_3\rightarrow S_3</tex> <tex> \varphi(0)=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} </tex> <tex> \varphi(1)=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix} </tex> <tex> \varphi(2)=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix} </tex> Не сложно убедиться в том, что <tex> \mathbb Z_3</tex> и полученная группа перестановок дейсвительно изоморфны.