Изменения
Нет описания правки
Рассмотрим некоторый элемент <tex>g \in G</tex> и функцию <tex>f_g : G \rightarrow G, f_g(x) = g*x</tex>.
<tex>f_g</tex> {{---}} перестановка, так как для любых <tex>x, y</tex> таких, что <tex>x \neq y</tex> верно, что <tex>g*x \neq g*y</tex>
Если <tex>f_g</tex> {{---}} перестановка, то <tex>f_{g^{-1}}</tex> {{---}} обратная перестановка, где <tex>g^{-1}</tex> {{---}} обратный элемент <tex>g</tex> в группе <tex>G</tex>.Если <tex>e</tex> {{---}} нейтральный (относительно бинарной операции <tex>*</tex>) элемент в группе, то <tex>f_e</tex> {{---}} тождественная перестановка.
Таким образом множество всех функций <tex>K = \{f_g : g \in G\}</tex> {{---}} подгруппа симметрической группы.
Пусть <tex>\circ</tex> {{- --}} композиция двух перестановок.
Рассмотрим множество <tex>K</tex>. По доказанному выше, оно является подгруппой симметрической группы. Осталось доказать, что <tex>G</tex> и <tex>K</tex> изоморфны. Для этого рассмотрим функцию <tex>T : G \rightarrow K,\, T(x) = f_x</tex>. Заметим, что
Значит <tex>T</tex> {{---}} гомоморфизм.
*<tex>T</tex> {{- --}} инъекция, потому что <tex>f_g(x) = f_{g'}(x) \Rightarrow g = f_g(x)*x^{-1} = f_{g'}(x)*x^{-1} = g'</tex>.
*Сюрьективность <tex>T</tex> очевидна из определения <tex>K</tex>.
То есть <tex>T</tex> {{- --}} гомоморфизм и биекция, а значит изоморфизм <tex>G</tex> и <tex>K</tex> установлен.
}}
==Примеры==
<tex> \varphi(2)=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix} </tex>
