Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Теорема Дирака

924 байта добавлено, 06:14, 21 ноября 2011
Нет описания правки
Пусть <tex>G</tex> - неориентированный граф и <tex>\delta</tex> - минимальная степень его вершин. Если <tex>n \ge 3</tex> и <tex>\delta \ge n/2</tex>, то <tex>G</tex> - гамильтонов граф.
|proof=
Пусть <tex>C</tex> - цикл наибольшей длины в графе <tex>G</tex>. По лемме его длина <tex>l \ge n + 1</tex>. Если <tex>C</tex> - гамильтонов, то теорема доказана. Предположим обратное, т. е.<tex>G \backslash C \ne \varnothing</tex>.Рассмотрим путь <tex>P = x..y : P \cap C = \{y\}</tex> наибольшей длины <tex>m</tex>.Заметим, что по условию <tex>\delta \ge n/2</tex>, а значит <tex>\delta \ge n - \delta > n - l = |V(G \backslash C)|</tex> и каждая вершина из <tex>G \backslash C</tex> смежна с некоторыми вершинами из <tex>C</tex>.Заметим, что вершина <tex>x</tex> не может быть смежна с вершинами из <tex>C</tex>, расстояние от которых до <tex>y</tex>(по <tex>C</tex>) не превышает m, а также двум смежным вершинам(это противоречило бы максимальности цикла <tex>C</tex>). Получаем <tex>deg x \le m + (l - 2m)/2 =l/2 < n/2 \le \delta</tex>. Противоречие.
По [[Теорема Хватала|теореме Хватала]]: для <tex>\forall k</tex> верна импликация <tex>d_k \le k < n/2 \Rightarrow d_{n-k} \ge n-k</tex>, поскольку левая её часть всегда ложна.
Анонимный участник

Навигация