Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Укладка графа на плоскости

807 байт добавлено, 19:38, 6 марта 2018
Нет описания правки
<br/>{| class="standard" border=0|[[Файл:Planar_graphplanar_graph.jpgpng|300px250px|thumb|rightleft|Пример планарного графа. Оранжевым Синим контуром обозначены грани, за исключением внешней грани (всего 5 граней). Обратите внимание, что внутри грани могут содержаться другие ребра и вершины.]]<div style='clear:left;'></div>Планарный граф (planar graph), это такой граф, который можно изобразить на плоскости без пересечений, и тогда говорят, что такой граф обладает укладкой. Говоря немного более формально:|
{{Определение
|neat=neat
|definition=
[[Основные_определения_теории_графов|Граф ]] '''обладает укладкой''' в пространстве <tex>L</tex>, если он изоморфен графу, вершинами которого являются некоторые точки <br/> пространства, а ребрами {{---}} жордановы кривые <ref name="ЖК">Жордановыми кривыми, неформально говоря, называют крывые кривые без самопересечений, которые можно «нарисовать одним росчерком пера».</ref>, соединяющие соответствующие вершины, причем<br /> 1) # Кривая, являющаяся ребром не проходит через другие вершины графа, кроме вершин, которые она соединяет;<br /> 2) # Две кривые, являющиеся ребрами, пересекаются лишь в вершинах, инцидентных одновременно обоим этим ребрам.<br /> Соответствующий граф, составленный из точек пространства и жордановых кривых из <tex>L</tex>, называют <br/>'''укладкой''' исходного графа.
}}
 
{{Определение
|id= defplanar
|definition=
Граф называется '''планарным''' ''(англ. planar graph)'', если он обладает укладкой на плоскости. <br/>'''Плоским графом''''' (англ. plane graph, planar embedding of the graph) '' называется граф уже уложенный на плоскости.
}}
[[Файл:K33.jpg|300px}{|thumb|rightclass="standard" border=0|Полный двудольный граф <tex>K_{3,3}</tex>. Этот граф непланарен, и его не получится изобразить на плоскости без пересечений.]] 
{{Определение
|neat=1
|definition=
Плоский граф разбивает плоскость на несколько областей, называемых '''гранями''''' (англ. faces)''. Одна из граней не ограничена, ее &nbsp;<br/> называют '''внешней''' ''(англ. external)'' гранью, а остальные {{---}} '''внутренними''' ''(англ. unbounded)'' гранями.
}}
<div style='clear:left;'></div><br/>Для плоских графов есть простое соотношение, называемое [[Формула_Эйлера|формулой Эйлера]]: <tex>V - E + F = 2</tex>, где <tex>V</tex> {{---}} вершины (''vertex''), <tex>E</tex> {{---}} ребра (''edges''), <tex>F</tex> {{---}} грани (''faces'').
Это свойство позволяет в некоторых случаях просто доказывать [[Непланарность K5 и K3,3|непланарность некоторых графов, например непланарность <tex>K_5</tex> и <tex>K_{3,3}</tex>]].
Понятно, что любой граф, содержащий подграф <tex>K_5</tex> или <tex>K_{3,3}</tex> непланарен. Оказывается, верно и обратное утверждение, но для его формулировки потребуется вспомогательное определение:
|
[[Файл:K33.png|200px|thumb|Полный двудольный граф <tex>K_{3,3}</tex>. Этот граф непланарен, и его не получится изобразить на плоскости без пересечений ребер.]]
|}
{{Определение
|id=def_hmp
|definition=
[[Файл:GomeomorphGomeomorf.jpgpng|350px|right]]Введем отношение <tex>R</tex> следующим образом: два графа на находятся в отношении <tex>R</tex>, если один можно свести к другому заменой вершины степени 2 на ребро между вершинами смежных смежными ей, или наоборот, добавлением вершины степени два на ребро (см. картинку).
<br/>
Отношением '''гомеоморфизма''' (или '''топологической эквивалентности''') назовем [[Транзитивное_замыкание|транзитивное замыкание]] отношения <tex>R</tex>: <tex>R</tex>*.
Граф планарен тогда и только тогда, когда он не содержит подграфов, гомеоморфных <tex>K_5</tex> и <tex>K_{3,3}</tex>: [[Теорема Понтрягина-Куратовского| теорема Понтрягина-Куратовского]].
{{Теорема|statement= В трехмерном евклидовом пространстве любой граф укладывается.|proof=Все вершины произвольного графа <tex>G</tex> помещаем в различных точках координатной оси <tex>OX</tex>. Рассмотрим пучок плоскостей, проходящих через ось <tex>OX</tex>, и зафиксируем <tex>|E|</tex> различных таких плоскостей. Теперь каждое ребро <tex>(u, v)</tex> изобразим полуокружностью, проходящей в соответствующей плоскости через вершины <tex>u, v</tex>. Ясно, что различные ребра не будут пересекаться кроме как в общих вершинах. }} ==Смотри См. также==* [[Двойственный_граф_планарного_графаФормула_Эйлера| Двойственный граф планарного графаФормула Эйлера]]* [[Локализация_в_ППЛГ_методом_полос_%28персистентные_деревья%29|Локализация в ППЛГ методом полос (персистентные деревья)]]
==Примечания==
<references/>
==ЛитератураИсточники информации==* Асанов М,, Баранский В., Расин В. - Дискретная математика - Графы, матроиды, алгоритмы
* Харари, Ф. Теория графов. — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. — С. 126. — ISBN 978­-5­-397­-00622­-4.
 
 
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Укладки графов ]]
169
правок

Навигация