338
правок
Изменения
Нет описания правки
b) слабо эргодическая, но не эргодическая цепь (граф переходов не является ориентированно связным)
c) эргодическая цепь (граф переходов ориентированно связен).]]
==Основная теорема об эргодических распределениях==
{{
Теорема
|about=Основная теорема об эргодических распределениях
|statement=
Пусть <tex>\{X_n\}_{n \ge 0}</tex> - цепь Маркова с дискретным пространством состояний и матрицей переходных вероятностей <tex>P = (p_{ij}),\; i,j=1,2,\ldots</tex>. Тогда эта цепь является эргодической тогда и только тогда, когда она
# Неразложима <tex>(</tex>Если цепь Маркова такова, что её состояния образуют лишь один неразложимый класс, то она называется неразложимой<tex>)</tex>;
# Положительно возвратна <tex>(</tex>Возвратное состояние <math>i</math> называется положительным, если <tex> \mathbb{E}[T_i] = \sum\limits_{n=1}^{\infty} n f^{(n)}_{ii} < \infty)</tex>;
# Апериодична <tex>(</tex>Если <tex>d(j) = 1</tex> (где <tex>d(j) = \gcd \left(n \in \mathbb{N} \mid p_{jj}^{(n)} > 0 \right)</tex>), то состояние <tex>j</tex> называется апериодическим<tex>)</tex>.
Эргодическое распределение <tex>\mathbf{\pi}</tex> тогда является единственным решением системы:
:<tex>\sum\limits_{i=0}^{\infty} \pi_i = 1,\; \pi_j \ge 0,\; \pi_j = \sum\limits_{i=0}^{\infty} \pi_i\, p_{ij},\quad \, j\in \mathbb{N}</tex>.}}
