Изменения

<br>Пусть <tex>K</tex> - — некоторый набор из <tex>x</tex> красок. Отображение <tex>\phi</tex> из <tex>VG</tex> в <tex>K</tex>, не являющееся раскраской графа <tex>G</tex>, будем называть его ''несобственной '' раскраской. Всего собственных и несобственных <tex>x</tex> - — раскрасок графа <tex>G</tex> - — <tex>x^n</tex>.<br>Возьмём некоторую собственную или несобственную раскраску графа <tex>G</tex>. Удалим из графа каждое ребро, концы которого раскрашены в разный цвет. Получим остовный подграф <tex>H</tex>, в котором каждое ребро соединяет вершины одинакового цвета. Исходную собственную или несобственную раскраску будем называть ''строго несобственной '' раскраской остовного подграфа <tex>H</tex>. Каждой компоненте связности графа <tex>H</tex> соответствует точно один цвет - цвет её вершин. Если остовный подграф <tex>H</tex> имеет <tex>i</tex> компонент связности, то есть <tex>x^i</tex> различных строго несобственных раскрасок, отвечающих остовному подграфу <tex>H</tex>.<br>Каждая собственная или несобственная раскраска графа <tex>G</tex> является строго несобственной раскраской его остовного подграфа. Cобственным Собственным раскраскам графа <tex>G</tex> отвечает нулевой остовный подграф.<br>Пусть <tex>N(i, j)</tex> - — число остовных подграфов графа <tex>G</tex>, имеющих <tex>i</tex> компонент связности и <tex>j</tex> рёбер.<br>По Из общего числа <tex>x^n</tex> собственных и не собственных раскрасок вычтем число строго несобственных раскрасок остовных подграфов, имеющих ровно одно ребро. Если мы вычтем сумму <tex> \sum \limits_{i}{N(i, 1)x^i} </tex>, то мы вычтем помимо указанного числа ещё и избыточную величину. Действительно, допустим <tex>e_1 = u_1v_1</tex> и <tex>e_2 = u_2v_2</tex> — два различных ребра графа <tex>G</tex>. Тогда в число строго несобственных раскрасок остовного подграфа, содержащего точно одно ребро <tex>e_1</tex>, попадут и те, у которых вершины <tex>e_1</tex> и <tex>e_2</tex>, а это в свою очередь строго несобственные раскраски остовного подграфа, содержащего ровно два ребра <tex>e_1</tex> и <tex>e_2</tex>. При этом их число мы вычтем дважды — для <tex>e_1</tex> и <tex>e_2</tex>. Аналогично, число строго несобственных раскрасок остовных подграфов, содержащих точно три, четыре и более ребер будет вычтено соответствующее число раз.<br/>Добавим сумму <tex>\sum \limits_{i}{N(i, 2)x^i}</tex>, компенсируя при этом двукратное вычитание, но при этом возникнет необходимость компенсации излишне добавленных чисел строго несобственных раскрасок для остовных подграфов с тремя, четырьмя и более ребрами. <br/> Итого, по принципу включения-исключения получаем, что число собственных раскрасок графа <tex>G</tex> равно <tex>x^n - \sum \limits_{i}{N(i, 1)x^i} + \sum \limits_{i}{N(i, 2)x^i} - \sum \limits_{i}{N(i, 3)x^i} + ...</tex>.<br>Так как <tex>N(n, 0) = 1</tex>, то <tex>P(G, x) = \sum \limits_{j=0}^{m}{\sum \limits_{i=1}^{n}{(-1)^jN(i, j)x^i}} = \sum \limits_{i=1}^{n}{\sum \limits_{j=0}^{m}{(-1)^jN(i, j)x^i}}</tex>.