Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Независимые случайные величины

1857 байт добавлено, 21:02, 4 марта 2018
м
Нет описания правки
{{В разработке}}== Определение Определения ==
{{Определение
|id=def1
|definition='''Независимые случайные Cлучайные величины''' - <tex> \xi</tex> и <tex>\eta</tex> называются '''независимыми''' (англ. ''independent''), если <tex>\forall \alpha ,\beta \in \mathbb R</tex> события <tex>[ \xi \leqslant \alpha ]</tex> и <tex>[ \eta \leqslant \beta ]</tex> [[Независимые события|независимы]].<br> <tex>P((\xi \leqslant \alpha) \bigcap cap (\eta \leqslant \beta)) = P(\xi \leqslant \alpha)·P\cdot P(\eta \leqslant \beta)</tex>
}}
Иначе говоря, две случайные величины называются независимыми, если значение по значению одной из них не влияет на значение нельзя сделать выводы о значении другой.
== Дискретные случайные величины = Независимость в совокупности ===
{{Определение
|id=def2
|definition=Случайные величины <tex>\xi_1,...\ldots ,\xi_n</tex> с дискретным распределением<ref>Вероятность того, что случайная величина <tex>X</tex> принимает значение меньшее <tex>x</tex>, называется функцией распределения случайной величины <tex>X</tex> и обозначается<br><tex>F(x): F(x) = P</tex><tex>(X \leqslant x)</tex>.</ref> называются '''независимы (в совокупности''' (англ. ''mutually independent''), если для события <tex>\forall a_1,...xi_1 \leqslant \alpha_1,a_n</tex> имеет место равенство:<br><tex>P(\xi_1=a_1,...ldots ,\xi_n=a_n)=P(\xi_1=a_1)·...·P(leqslant \xi_n=a_n)alpha_n</tex>независимы в совокупности.
}}
Стоит отметить, что если <tex>\xi</tex> и <tex>\eta</tex> - дискретные случайные величины, то достаточно рассматривать случай <tex>\xi = \alpha</tex>, <tex>\eta = \beta</tex>.
== Примеры ==
 
==== Карты ====
 
Пусть есть колода из <tex>36</tex> карт (<tex>4</tex> масти и <tex>9</tex> номиналов). Мы вытягиваем одну карту из случайным образом перемешанной колоды (вероятности вытягивания каждой отдельной карты равны). Определим следующие случайные величины:
 
<tex>\xi</tex> {{---}} масть вытянутой карты : <tex>0</tex> {{---}} червы, <tex>1</tex> {{---}} пики, <tex>2</tex> {{---}} крести, <tex>3</tex> {{---}} бубны
 
<tex>\eta</tex>: принимает значение <tex>0</tex> при вытягивании карт с номиналами <tex>6, 7, 8, 9, 10</tex> или <tex>1</tex> при вытягивании валета, дамы, короля или туза
 
Для доказательства того, что <tex>\xi, \eta</tex> независимы, требуется рассмотреть все <tex>\alpha,\beta</tex> и проверить выполнение равенства:
<tex>P((\xi \leqslant \alpha)\cap(\eta \leqslant \beta)) = P(\xi \leqslant \alpha) \cdot P(\eta \leqslant \beta)</tex>
 
Для примера рассмотрим <tex>\alpha = 0, \beta = 0</tex>, остальные рассматриваются аналогично:
 
<tex>P((\xi \leqslant 0)\cap(\eta \leqslant 0)) = </tex> <tex dpi = "160" > \dfrac{5}{36} </tex>
 
<tex>P(\xi \leqslant 0) \cdot P(\eta \leqslant 0) = </tex> <tex dpi = "160" > \dfrac{1}{4} </tex> <tex> \cdot </tex> <tex dpi = "160" > \dfrac{5}{9} </tex> <tex> = </tex> <tex dpi = "160" > \dfrac{5}{36} </tex>
 
==== Тетраэдр ====
Рассмотрим вероятностное пространство «тетраэдр». Каждое число соответствует грани тетраэдра (по аналогии с игральной костью): <tex>\Omega = \{0, 1, 2, 3\}</tex>. <tex>\xi (i) = i \bmod 2</tex>, <tex>\eta(i) = \left \lfloor \dfrac{i}{2} \right \rfloor</tex>.
 
Рассмотрим случай: <tex>\alpha = 0</tex>, <tex>\beta = 1</tex>. <tex>P(\xi \leqslant 0) = </tex> <tex dpi = "160" > \dfrac{1}{2} </tex>, <tex>P(\eta \leqslant 1) = 1</tex>, <tex>P((\xi \leqslant 0) \cap (\eta \leqslant 1)) = </tex> <tex dpi = "160" > \dfrac{1}{2} </tex>.
 
Для этих значений <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex> события являются независимыми, так же, как и для других (рассматривается аналогично), поэтому эти случайные величины независимы.
 
Заметим, что если: <tex>\xi (i) = i \bmod 3</tex>, <tex>\eta(i) = \left \lfloor \dfrac{i}{3} \right \rfloor</tex>, то эти величины зависимы: положим <tex>\alpha = 0, \beta = 0</tex>. Тогда <tex>P(\xi \leqslant 0) = </tex> <tex dpi = "160" > \dfrac{1}{2} </tex> , <tex>P(\eta \leqslant 0) = </tex> <tex dpi = "160" > \dfrac{3}{4} </tex> , <tex>P((\xi \leqslant 0) \cap (\eta \leqslant 0)) = </tex> <tex dpi = "160" > \dfrac{1}{4} </tex> <tex> \neq P(\xi \leqslant 0) \cdot P(\eta \leqslant 0)</tex>.
==== Честная игральная кость ====
Рассмотрим вероятностное пространство честная «честная игральная кость кость»: <tex>\Omega = \mathcal {f} 1, 2, 3, 4, 5, 6 \mathcal {g}</tex>. <tex>\xi</tex> и <tex>\eta</tex> - случайные величины. , <tex>\xi (i) = i \% bmod 2</tex>, <tex>\eta (i) = [\dfrac{\mathcal {b} i }{3 \geqslant 3]mathcal {c}}</tex>.Для того, чтобы показать, что они независимывеличины <tex>\xi, \eta</tex> зависимы, надо рассмотреть все найти такие <tex>\alpha, \beta</tex> и , при которых<tex>P((\xi \leqslant \alpha)\cap(\eta \leqslant \beta)) \neq P(\xi \leqslant \alpha) \cdot P(\eta \leqslant \beta)</tex>.
Для примера рассмотрим: При <tex>\alpha = 0</tex>, <tex>\beta = 0</tex>. Тогда <tex>P( \xi \leqslant 0) = \frac{1}{2}</tex>, <tex>P( \eta \leqslant 0) = \frac{2}{3}</tex>, <tex>P((\xi \leqslant 0) \cap (\eta \leqslant 0)) = \frac{1}{3}</tex>.Аналогичным образом можно проверить, что для оставшихся значений <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex> события также являются независимыми, а это значит, что случайные величины <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex> независимы.:
==== Тетраедер ==== <tex>P((\Omega = xi \mathcal {f} leqslant 0, 1, 2, 3 )\mathcal {g}</tex>. <tex>\xi</tex> и <tex>cap(\eta</tex> - случайные величины. <tex>\xi (xleqslant 1)) = i \% 2</tex>, <texdpi = "160" >\eta(x) = \left \lfloor \fracdfrac{x2}{26} \right \rfloor</tex>Рассмотрим случай: <tex>\alpha = 0</tex>, <texdpi = "160" >\beta = 0dfrac{1}{3} </tex>. , <tex>P(\xi \leqslant 0) = </tex> <tex dpi = "160" > \fracdfrac{1}{2}</tex>, <tex>P(\eta \leqslant 1) = 1</tex> <tex>P(\xi \leqslant 0</tex> и <texdpi = "160" >\eta \leqslant 1) = \fracdfrac{15}{26}</tex>Для этих значений события являются независимыми, как и для других значений <tex>\xi</tex> и <tex>\eta</tex> (рассматривается аналогично), поэтому эти случайные величины независимы.
Заметим, что если: <tex>P((\xi (x\leqslant 0) = i \% 3</tex>, <tex>cap(\eta(x\leqslant 1)) = \left neq P(\lfloor xi \frac{x}{3} leqslant 0) \right cdot P(\rfloor</tex>То эти величины зависимы, т.к. <tex>eta \eta(3leqslant 1) = 1</tex>, и в этом случаеоткуда видно, мы можем однозначно определить значение <tex>\xi</tex>что величины не являются независимыми.
== Примечания См.также==<references/>*[[Вероятностное пространство, элементарный исход, событие]]*[[Дискретная случайная величина]]*[[Математическое ожидание случайной величины]]
== См. также Источники информации ==*[[Дискретная случайная величина]http://nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/node38.html НГУ {{---}} Независимость случайных величин]
== Литература и источники информации ==*[http://nsuru.wikipedia.ruorg/mmfwiki/tvims/chernova/tv/lec/node38%D0%9D%D0%B5%D0%B7%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%B9)#.D0.9D.D0.B5.D0.B7.D0.B0.D0.B2.D0.B8.D1.81.D0.B8.D0.BC.D1.8B.D0.B5_.D1.81.D0.BB.D1.83.D1.87.D0.B0.D0.B9.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D0.B2.D0.B5.D0.BB.D0.B8.D1.87.D0.B8.D0.BD.D1.html 8B Википедия {{---}} Независимость случайных величин(теория вероятностей)]
[http[Категория://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%B7%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%B9)#.D0.9D.D0.B5.D0.B7.D0.B0.D0.B2.D0.B8.D1.81.D0.B8.D0.BC.D1.8B.D0.B5_.D1.81.D0.BB.D1.83.D1.87.D0.B0.D0.B9.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D0.B2.D0.B5.D0.BB.D0.B8.D1.87.D0.B8.D0.BD.D1.8B ВикипедияДискретная математика и алгоритмы]][[Категория: Независимость (теория вероятностей)Теория вероятности]]
263
правки

Навигация