Изменения
Нет описания правки
[[Файл:Циркул2.png|frame|справа|Пример графа и циркуляции в нем (поток/пропуск.способность)]]
То есть [[Определение сети, потока#Определение потока|закон сохранения потока]] <tex>\sum\limits_v f(u,v)=0</tex> должен выполняться для '''всех''' вершин графа. А , а значит, нет нужды в истоке и стоке.
</wikitex>
==Постановка задачи==
</wikitex>
==Решение==
<wikitex>Для решения этой задачи изменим заменим исходную сеть $G$ в на $G'$ следующим образом. Сначала добавим в граф вершины $x$ {{---}} новый исток и $y$ {{---}} новый сток. Для каждого ребра $e_i = v_{from} \xrightarrow{l_i, c_i} v_{to}$ добавим ребра $x \xrightarrow{0, l_i} v_{to}$ и $u_{from} \xrightarrow{0, l_i} y$, а также сделаем в ребре $e_i$ изменения: $c_i = c_i - l_i, l_i = 0$.
[[Файл:Циркул3.png]]
Требовалось найти циркуляцию в исходной сети, а значит проверить существование потока, для которого выполнено равенство <tex>\sum\limits_v f(u,v) = 0</tex> для всех вершин графа. Это равносильно существованию потока между вершинами $x$ и $y$ в сети $G'$, который полностью насытит ребра, исходящие из истока. Действительно, этот поток в исходном графе насытит $i$-ое ребро как минимум на $l_i$, что и является необходимым требованием. Если этот поток существует, то будет выполнено:
* $\sum\limits_v f(u,v)=0,$ где $u \in V'-\{x,y\}, v \in V'$, то есть для всех исходных вершин;
* В $G': f_i \leqslant c_i - l_i \Rightarrow 0 \leqslant f_i \leqslant c_i - l_i \Rightarrow l_i \leqslant f_i + l_i \leqslant c_i$, что удовлетворяет всем ограничениям.
Значит, этот поток и есть циркуляция.
