Изменения
Новая страница: «{{В разработке}} Пусть есть пространство с <tex>\sigma</tex>-конечной, полной мерой, <tex>E</tex> - произв...»
{{В разработке}}
Пусть есть пространство с <tex>\sigma</tex>-конечной, полной мерой, <tex>E</tex> - произвольное измеримое множество, <tex>f</tex> - измеримая функция, такая что <tex>f: E \to \mathbb{R_{+}}</tex>.
Рассмотрим совокупность <tex>e \in E</tex> - измеримо, <tex>\mu e < +\infty</tex>, <tex>f</tex> - ограничена на <tex>e</tex>. В такой ситуации существует <tex>\int \limits_{e} f d\mu</tex> {{---}} интеграл Лебега.
Следовательно <tex>\sup \limits_{\{e \}} \int \limits_{e} f d\mu = \int \limits_{E} f d\mu</tex> {{---}} интеграл по <tex>E</tex>. Если этот интеграл конечен, то <tex>f</tex> называется суммируемой на <tex>E</tex>.
Класс <tex>e</tex> не пуст, так как всегда <tex>\varnothing \in e</tex>.
<tex>X = \bigcup \limits_{n} X_n</tex>, <tex>\mu X_n < +\infty</tex>
<tex>E_m = E(f(x) \le m)</tex>, <tex>E \bigcup \limits_{m = 1}^{\infty}E_m</tex>, но
<tex>E = E \bigcap X = \bigcup(E_m \bigcap X_n)</tex> <tex>E_m \bigcap X_n \in X_n</tex>
<tex>\mu(E_m \bigcap X_n) < \mu X_n < +\infty</tex> (на множестве <tex>E_m \bigcap X_n</tex> <tex>f</tex> {{---}} ограничена), следовательно, <tex>\forall E_m \bigcap X_n \in e</tex>. <br>
Все <tex>e</tex> будем условно называеть "хорошим множеством".
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>E</tex> {{---}} измеримо, разбито на дизъюнктные измеримые части. <tex>f</tex> {{---}} измеримо, <tex>f: E \to \mathbb{R_{+}}</tex> (<tex>E = \bigcup \limits_{n} E_n</tex>). Тогда <tex>\int \limits_{E} f = \sum \limits_{n} \int \limits_{E_n} f</tex>
|proof=Заметим, что мы не предполагаем суммируемость <tex>f</tex>. <tex>\forall E_n \in E</tex> если <tex>e</tex> хорошее, относительно <tex>E_n</tex>, то <tex>e</tex> {{---}} хорошее, относительно <tex>E</tex>. По свойствам граней <tex>\int \limits_{E_n} f \le \int \limits_{E} f</tex>. Если хотя бы на одном из <tex>E_n</tex> <tex>f</tex> не суммируема, то <tex>\int \limits_{E} f = +\infty</tex> и тогда неравенство тривиально. Cледовательно <tex>\forall \int \limits_{E_n} f_n < +\infty</tex>, то есть <tex>f</tex> {{---}} суммируемма на <tex>\forall E_n</tex>. Если <tex>e</tex> хорошее, относительно <tex>E = \bigcup \limits_{n}</tex>, то <tex>e_n = E_n \bigcap e</tex> - дизъюнктны. <tex>e = \bigcup \limits_{n} e_n</tex>. Так как <tex>f</tex> ограничена на <tex>e</tex>, то <tex>f</tex> {{---}} ограничена на <tex>e_n</tex>. Мера <tex>e</tex> конечна, отсюда по <tex>\sigma</tex>-аддитивности интеграла Лебега <tex>\int \limits_{e} f = \sum \limits_{n} \int \limits_{e_n} f</tex>
<tex>\int \limits_{e_n}f \le \int \limits_{E_n} f</tex>
<tex>\int \limits_{e} f \le \sum \limits_{n} \int \limits_{E_n}f</tex>. Переход к точной верхней грани.
<tex>\int \limits_{E}f \le \sum \limits_{n} \int \limits_{E_n} f</tex>.
В обратную сторону. <tex>f</tex> {{---}} суммируема на <tex>\forall E_n</tex>, <tex>\forall \varepsilon > 0</tex>
<tex>\int \limits_{E_n} \frac{\varepsilon}{2^n}f < \int \limits_{e_n} f</tex>
<tex>\sum \limits_{n = 1}^{N} \int \limits_{E_n} f \sum \limits_{n = 1}^{N} \frac{\varepsilon}{2^n} < \sum \limits_{n = 1}^{N} \int \limits_{e_n} f = \int \limits_{\bigcup \limits_{n=1}^{N} e_n \in E} f \le \int \limits_{E} f</tex>.
Устремим <tex>N \to \infty</tex>, что можно сделать, так как это числа
<tex>\sum \limits_{n} \int \limits_{E_n} f + \varepsilon \le \int \limits_{E} f</tex>. Устремив <tex>\varepsilon \to 0</tex>, приходим к пртивоположному неравенству, таким образом равенство доказано.
}}
<tex>\sigma</tex>-аддитивность позволяет переносить на <tex>f \ge 0</tex> стандартные свойства интеграла Лебега, например линейность. Действительно <tex> \int \limits_{E}(f + g) = \int \limits_{E} f + \int \limits_{E} g</tex> для <tex>f, g \ge 0</tex>. Чтобы свести ситуацию к ограниченным функциям, мы разбиваем <tex>E</tex> на измеримые, дизъюнктные множества. <tex>E = \bigcup \limits_{n = 1}^{\infty} E_{f_n}(n - 1 \le f < n)</tex>. Аналогично <tex>E = \bigcup \limits_{n = 1}^{\infty} E_{g_n}(n - 1 \le g < n)</tex>
После этого <tex>E = \bigcup \limits_{m,n = 1}^{\infty}(E_{f_n} \bigcap E_{g_m}) = \bigcup \limits_{p=1}^{\infty} B_p</tex>. За счет <tex>\sigma</tex>-конечности меры можно считать, что <tex>\mu B_p < +\infty</tex> для <tex>\forall p</tex>. За счет <tex>\sigma</tex>-аддитивности интеграла от неотрицательной функции: <tex>\int \limits_{E} (f+g) = \sum \limits_{p} \int \limits_{B_p} (f + g) = \sum \limits_{p} (\int \limits_{B_p} f + \int \limits_{B_p} g) = \sum \limits_{p} \int \limits_{B_p}f + \sum \limits_{p} \int \limits_{B_p} g = \int \limits_{E} f + \int \limits_{E} g</tex>. Получили линейность.
Пусть есть пространство с <tex>\sigma</tex>-конечной, полной мерой, <tex>E</tex> - произвольное измеримое множество, <tex>f</tex> - измеримая функция, такая что <tex>f: E \to \mathbb{R_{+}}</tex>.
Рассмотрим совокупность <tex>e \in E</tex> - измеримо, <tex>\mu e < +\infty</tex>, <tex>f</tex> - ограничена на <tex>e</tex>. В такой ситуации существует <tex>\int \limits_{e} f d\mu</tex> {{---}} интеграл Лебега.
Следовательно <tex>\sup \limits_{\{e \}} \int \limits_{e} f d\mu = \int \limits_{E} f d\mu</tex> {{---}} интеграл по <tex>E</tex>. Если этот интеграл конечен, то <tex>f</tex> называется суммируемой на <tex>E</tex>.
Класс <tex>e</tex> не пуст, так как всегда <tex>\varnothing \in e</tex>.
<tex>X = \bigcup \limits_{n} X_n</tex>, <tex>\mu X_n < +\infty</tex>
<tex>E_m = E(f(x) \le m)</tex>, <tex>E \bigcup \limits_{m = 1}^{\infty}E_m</tex>, но
<tex>E = E \bigcap X = \bigcup(E_m \bigcap X_n)</tex> <tex>E_m \bigcap X_n \in X_n</tex>
<tex>\mu(E_m \bigcap X_n) < \mu X_n < +\infty</tex> (на множестве <tex>E_m \bigcap X_n</tex> <tex>f</tex> {{---}} ограничена), следовательно, <tex>\forall E_m \bigcap X_n \in e</tex>. <br>
Все <tex>e</tex> будем условно называеть "хорошим множеством".
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>E</tex> {{---}} измеримо, разбито на дизъюнктные измеримые части. <tex>f</tex> {{---}} измеримо, <tex>f: E \to \mathbb{R_{+}}</tex> (<tex>E = \bigcup \limits_{n} E_n</tex>). Тогда <tex>\int \limits_{E} f = \sum \limits_{n} \int \limits_{E_n} f</tex>
|proof=Заметим, что мы не предполагаем суммируемость <tex>f</tex>. <tex>\forall E_n \in E</tex> если <tex>e</tex> хорошее, относительно <tex>E_n</tex>, то <tex>e</tex> {{---}} хорошее, относительно <tex>E</tex>. По свойствам граней <tex>\int \limits_{E_n} f \le \int \limits_{E} f</tex>. Если хотя бы на одном из <tex>E_n</tex> <tex>f</tex> не суммируема, то <tex>\int \limits_{E} f = +\infty</tex> и тогда неравенство тривиально. Cледовательно <tex>\forall \int \limits_{E_n} f_n < +\infty</tex>, то есть <tex>f</tex> {{---}} суммируемма на <tex>\forall E_n</tex>. Если <tex>e</tex> хорошее, относительно <tex>E = \bigcup \limits_{n}</tex>, то <tex>e_n = E_n \bigcap e</tex> - дизъюнктны. <tex>e = \bigcup \limits_{n} e_n</tex>. Так как <tex>f</tex> ограничена на <tex>e</tex>, то <tex>f</tex> {{---}} ограничена на <tex>e_n</tex>. Мера <tex>e</tex> конечна, отсюда по <tex>\sigma</tex>-аддитивности интеграла Лебега <tex>\int \limits_{e} f = \sum \limits_{n} \int \limits_{e_n} f</tex>
<tex>\int \limits_{e_n}f \le \int \limits_{E_n} f</tex>
<tex>\int \limits_{e} f \le \sum \limits_{n} \int \limits_{E_n}f</tex>. Переход к точной верхней грани.
<tex>\int \limits_{E}f \le \sum \limits_{n} \int \limits_{E_n} f</tex>.
В обратную сторону. <tex>f</tex> {{---}} суммируема на <tex>\forall E_n</tex>, <tex>\forall \varepsilon > 0</tex>
<tex>\int \limits_{E_n} \frac{\varepsilon}{2^n}f < \int \limits_{e_n} f</tex>
<tex>\sum \limits_{n = 1}^{N} \int \limits_{E_n} f \sum \limits_{n = 1}^{N} \frac{\varepsilon}{2^n} < \sum \limits_{n = 1}^{N} \int \limits_{e_n} f = \int \limits_{\bigcup \limits_{n=1}^{N} e_n \in E} f \le \int \limits_{E} f</tex>.
Устремим <tex>N \to \infty</tex>, что можно сделать, так как это числа
<tex>\sum \limits_{n} \int \limits_{E_n} f + \varepsilon \le \int \limits_{E} f</tex>. Устремив <tex>\varepsilon \to 0</tex>, приходим к пртивоположному неравенству, таким образом равенство доказано.
}}
<tex>\sigma</tex>-аддитивность позволяет переносить на <tex>f \ge 0</tex> стандартные свойства интеграла Лебега, например линейность. Действительно <tex> \int \limits_{E}(f + g) = \int \limits_{E} f + \int \limits_{E} g</tex> для <tex>f, g \ge 0</tex>. Чтобы свести ситуацию к ограниченным функциям, мы разбиваем <tex>E</tex> на измеримые, дизъюнктные множества. <tex>E = \bigcup \limits_{n = 1}^{\infty} E_{f_n}(n - 1 \le f < n)</tex>. Аналогично <tex>E = \bigcup \limits_{n = 1}^{\infty} E_{g_n}(n - 1 \le g < n)</tex>
После этого <tex>E = \bigcup \limits_{m,n = 1}^{\infty}(E_{f_n} \bigcap E_{g_m}) = \bigcup \limits_{p=1}^{\infty} B_p</tex>. За счет <tex>\sigma</tex>-конечности меры можно считать, что <tex>\mu B_p < +\infty</tex> для <tex>\forall p</tex>. За счет <tex>\sigma</tex>-аддитивности интеграла от неотрицательной функции: <tex>\int \limits_{E} (f+g) = \sum \limits_{p} \int \limits_{B_p} (f + g) = \sum \limits_{p} (\int \limits_{B_p} f + \int \limits_{B_p} g) = \sum \limits_{p} \int \limits_{B_p}f + \sum \limits_{p} \int \limits_{B_p} g = \int \limits_{E} f + \int \limits_{E} g</tex>. Получили линейность.
