Изменения

Перейти к: навигация, поиск
#перенаправление [[Поиск потока минимальной стоимости методом дополнения вдоль путей минимальной стоимости]]
{{Лемма
|about=
Пусть <tex> f </tex> и <tex> g </tex> {{---}} потоки в сети <tex> G </tex>. Тогда <tex> g </tex> можно представить как сумму <tex> f + f'</tex>, где <tex>f'</tex> {{---}} поток в остаточной сети <tex>G_f</tex>.
|proof=
Рассмотрим произвольное ребро <tex> (u, v) </tex> из <tex> G </tex>. <tex> f'(u, v) = g(u, v) - f(u, v) \leq leqslant c(u, v) - f(u, v) = c_f(u, v) </tex>. Таким образом, поток через каждое ребро не превосходит пропускной способности остаточной сети.
Антисимметричность и закон сохранения потока проверяются аналогично [[Лемма о сложении потоков|лемме о сложении потоков]].
}}
*<tex> P </tex> {{---}} путь минимальной стоимости <tex> s \leadsto t</tex> в остаточной сети.
Тогда:
<tex>\forall \delta : 0 \leq leqslant \delta \leq leqslant c_f(P)</tex> поток <tex>f + \delta \cdot f_P</tex> {{---}} поток минимальной стоимости среди потоков величины <tex>a + \delta</tex>, где <tex>\delta \cdot f_P</tex> {{---}} поток величины <tex>\delta</tex>, проходящий по пути <tex>P</tex>.
|proof=
По [[Теорема о декомпозиции|теореме о декомпозиции]] <tex> g - f</tex> можно представить как сумму элементарных потоков вдоль путей <tex>P_i : s \leadsto t</tex> и циклов <tex>C_i</tex>. В этом представлении нет отрицательных циклов, иначе прибавление его к <tex> f </tex> даст поток меньшей стоимости. Если есть положительный цикл, то вычтем его из <tex> g </tex> и получим поток меньшей стоимости. Таким образом, <tex>p(C_i) = 0</tex> для всех циклов.
Тогда <tex>p(g - f) = \sum\limits_{P_i} p(P_i)\cdot c_f(P_i) \geq p(P) \cdot \sum\limits_{P_i}c_f(P_i) = \ge p(P) \cdot \delta</tex>.
Отсюда <tex> p(g) \ge p(f) + p(P) \cdot \delta \ge p(g) </tex> и поток <tex>f + \delta \cdot f_P</tex> {{---}} минимальный.
}}
 
==См. также==
*[[Поток минимальной стоимости| Поток минимальной стоимости]]
*[[Использование потенциалов Джонсона при поиске потока минимальной стоимости| Использование потенциалов Джонсона при поиске потока минимальной стоимости]]
 
==Источники информации==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Форда_—_Фалкерсона Wikipedia {{---}} Теорема Форда-Фалкерсона]
== Литература ==
* Ravindra Ahuja, Thomas Magnanti, James Orlin. Network flows (1993)
 
 
[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Задача о потоке минимальной стоимости]]
147
правок

Навигация