189
правок
Изменения
Новая страница: «=1. Полукольцо и алгебра множеств (примеры)= {{Определение |definition= Пусть <tex> X </tex> — некоторое...»
=1. Полукольцо и алгебра множеств (примеры)=
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> X </tex> — некоторое множество, <tex> \mathcal R </tex> — совокупность его подмножеств (не обязательно всех). Пара <tex> (X, \mathcal R) </tex> называется '''полукольцом''', если:
# <tex> \varnothing \in \mathcal R </tex>
# <tex> A, B \in \mathcal R \Rightarrow A \cap B \in \mathcal R </tex> (замкнутость относительно пересечения)
# <tex> A, B \in \mathcal R, A \subset B \Rightarrow \exists D_1, \ldots, D_n, \ldots \in R: B \setminus A = \bigcup\limits_n D_n, D_n \in \mathcal R, D_i \cap D_j = \varnothing </tex> для <tex> i \ne j </tex> (далее просто будем говорить, что эти множества дизъюнктны).
}}
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> X </tex> — некоторое множество, <tex> \mathcal A </tex> — совокупность его подмножеств. <tex> \mathcal A </tex> — '''алгебра''', если:
# <tex> \varnothing \in \mathcal A </tex>
# <tex> B \in \mathcal A \Rightarrow \overline B = X \setminus B \in \mathcal A </tex>
# <tex> B, C \in \mathcal A \Rightarrow B \cap C \in \mathcal A </tex>
<tex> \mathcal A </tex> называется '''σ-алгеброй''' (сигма-алгеброй, счетной алгеброй), если третья аксиома усилена требованием принадлежности <tex> \mathcal A </tex> пересечения счетного числа множеств
}}
Примеры:
тут чего то написать...
=2. Мера на полукольце множеств и ее основные свойства=
бла-бла-бла
=3. Внешняя мера, порожденная мерой на полукольце=
бла-бла-бла
=4. Понятие о мю*- измеримых множествах. Доказательство основной теоремы=
бла-бла-бла
=5. Распространение меры с полукольца на сигма-алгебру по Каратеодори. Доказательство теоремы=
бла-бла-бла
=6. Теорема о повторном применении процесса Каратеодори=
бла-бла-бла
=7. Критерий мю*-измеримости=
бла-бла-бла
=8. Объем многомерного параллелепипеда и его основные свойства=
бла-бла-бла
=9. Объем, как мера на полукольце ячеек=
бла-бла-бла
=10. Некоторые классы измеримых по Лебегу множеств (счетные, открытые, замкнутые)=
бла-бла-бла
=11. Теорема о внешней мере в R^n=
бла-бла-бла
=12. Структура измеримого по Лебегу множества=
бла-бла-бла
=13. Определение измеримых функций, теорема о множествах Лебега=
бла-бла-бла
=14. Арифметика измеримых функций=
бла-бла-бла
=15. Измеримость поточечного предела измеримых функций=
бла-бла-бла
=16. Эквивалентные функции и сходимость почти всюду=
бла-бла-бла
=17. Предел по мере и его единственность=
бла-бла-бла
=18. Теорема Лебега о связи сходимости п.в. и по мере=
бла-бла-бла
=19. Теорема Рисса=
бла-бла-бла
=20. Теорема Егорова=
бла-бла-бла
=21. Теоремы Лузина (без док-ва) и Фреше=
бла-бла-бла
=22. Суммы Лебега-Дарбу и их свойства, определение интеграла Лебега, совпадение интеграла Римана с интегралом Лебега=
бла-бла-бла
=23. Интегрируемость ограниченной, измеримой функции=
бла-бла-бла
=24. Счетная аддитивность интеграла=
бла-бла-бла
=25. Абсолютная непрерывность интеграла=
бла-бла-бла
=26. Арифметические свойства интеграла Лебега=
бла-бла-бла
=27. Теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла=
бла-бла-бла
=28. Определение интеграла от суммируемой функции=
бла-бла-бла
=29. Сигма-аддитивность интеграла неотрицательных функций=
бла-бла-бла
=30. Арифметические свойства интеграла неотрицательных функций=
бла-бла-бла
=31. О распространении основных свойств интеграла Лебега на суммируемые функции произвольного знака=
бла-бла-бла
=32. Теорема Лебега о мажорируемой сходимости=
бла-бла-бла
=33. Теорема Б.Леви и следствие о ряде из интегралов=
бла-бла-бла
=34. Теорема Фату=
бла-бла-бла
=35. Неравенства Гельдера и Минковского=
бла-бла-бла
=36. Пространства, полнота=
бла-бла-бла
=37. Всюду плотность множества С в пространствах=
бла-бла-бла
=38. Мера цилиндра=
бла-бла-бла
=39. Мера подграфика=
бла-бла-бла
=40. Вычисление меры множества посредством его сечений=
бла-бла-бла
=41. Теорема Фубини=
бла-бла-бла
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> X </tex> — некоторое множество, <tex> \mathcal R </tex> — совокупность его подмножеств (не обязательно всех). Пара <tex> (X, \mathcal R) </tex> называется '''полукольцом''', если:
# <tex> \varnothing \in \mathcal R </tex>
# <tex> A, B \in \mathcal R \Rightarrow A \cap B \in \mathcal R </tex> (замкнутость относительно пересечения)
# <tex> A, B \in \mathcal R, A \subset B \Rightarrow \exists D_1, \ldots, D_n, \ldots \in R: B \setminus A = \bigcup\limits_n D_n, D_n \in \mathcal R, D_i \cap D_j = \varnothing </tex> для <tex> i \ne j </tex> (далее просто будем говорить, что эти множества дизъюнктны).
}}
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> X </tex> — некоторое множество, <tex> \mathcal A </tex> — совокупность его подмножеств. <tex> \mathcal A </tex> — '''алгебра''', если:
# <tex> \varnothing \in \mathcal A </tex>
# <tex> B \in \mathcal A \Rightarrow \overline B = X \setminus B \in \mathcal A </tex>
# <tex> B, C \in \mathcal A \Rightarrow B \cap C \in \mathcal A </tex>
<tex> \mathcal A </tex> называется '''σ-алгеброй''' (сигма-алгеброй, счетной алгеброй), если третья аксиома усилена требованием принадлежности <tex> \mathcal A </tex> пересечения счетного числа множеств
}}
Примеры:
тут чего то написать...
=2. Мера на полукольце множеств и ее основные свойства=
бла-бла-бла
=3. Внешняя мера, порожденная мерой на полукольце=
бла-бла-бла
=4. Понятие о мю*- измеримых множествах. Доказательство основной теоремы=
бла-бла-бла
=5. Распространение меры с полукольца на сигма-алгебру по Каратеодори. Доказательство теоремы=
бла-бла-бла
=6. Теорема о повторном применении процесса Каратеодори=
бла-бла-бла
=7. Критерий мю*-измеримости=
бла-бла-бла
=8. Объем многомерного параллелепипеда и его основные свойства=
бла-бла-бла
=9. Объем, как мера на полукольце ячеек=
бла-бла-бла
=10. Некоторые классы измеримых по Лебегу множеств (счетные, открытые, замкнутые)=
бла-бла-бла
=11. Теорема о внешней мере в R^n=
бла-бла-бла
=12. Структура измеримого по Лебегу множества=
бла-бла-бла
=13. Определение измеримых функций, теорема о множествах Лебега=
бла-бла-бла
=14. Арифметика измеримых функций=
бла-бла-бла
=15. Измеримость поточечного предела измеримых функций=
бла-бла-бла
=16. Эквивалентные функции и сходимость почти всюду=
бла-бла-бла
=17. Предел по мере и его единственность=
бла-бла-бла
=18. Теорема Лебега о связи сходимости п.в. и по мере=
бла-бла-бла
=19. Теорема Рисса=
бла-бла-бла
=20. Теорема Егорова=
бла-бла-бла
=21. Теоремы Лузина (без док-ва) и Фреше=
бла-бла-бла
=22. Суммы Лебега-Дарбу и их свойства, определение интеграла Лебега, совпадение интеграла Римана с интегралом Лебега=
бла-бла-бла
=23. Интегрируемость ограниченной, измеримой функции=
бла-бла-бла
=24. Счетная аддитивность интеграла=
бла-бла-бла
=25. Абсолютная непрерывность интеграла=
бла-бла-бла
=26. Арифметические свойства интеграла Лебега=
бла-бла-бла
=27. Теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла=
бла-бла-бла
=28. Определение интеграла от суммируемой функции=
бла-бла-бла
=29. Сигма-аддитивность интеграла неотрицательных функций=
бла-бла-бла
=30. Арифметические свойства интеграла неотрицательных функций=
бла-бла-бла
=31. О распространении основных свойств интеграла Лебега на суммируемые функции произвольного знака=
бла-бла-бла
=32. Теорема Лебега о мажорируемой сходимости=
бла-бла-бла
=33. Теорема Б.Леви и следствие о ряде из интегралов=
бла-бла-бла
=34. Теорема Фату=
бла-бла-бла
=35. Неравенства Гельдера и Минковского=
бла-бла-бла
=36. Пространства, полнота=
бла-бла-бла
=37. Всюду плотность множества С в пространствах=
бла-бла-бла
=38. Мера цилиндра=
бла-бла-бла
=39. Мера подграфика=
бла-бла-бла
=40. Вычисление меры множества посредством его сечений=
бла-бла-бла
=41. Теорема Фубини=
бла-бла-бла
