1302
правки
Изменения
→Принцип Кавальери(?)
[[Мера подграфика|<<]] [[Математический_анализ_2_курс|>> на главную]]
Цель этого параграфа — установить формулу:
{{Теорема
|about = о сечениях|statement=
Пусть <tex> E \subset \mathbb R^2, \lambda_2 E < + \infty </tex>
<tex> f = f_+ - f_- </tex>, по линейности интеграла достаточно рассмотреть <tex> f \ge 0 </tex>.
Но по этой же теореме, <tex> \lambda_3 G(f) = \{ (x, y, z) : (x, y) \in E, 0 int\le z \le limits_E f(x, y) d\} lambda_2 </tex>. Отсюда получаем требуемое равенство.
(Неформальное доказательство от Н.Ю. Додонова: Соответствующий интеграл по <tex> x, y </tex> есть объем подграфика. Объём мы можем вычислять с помощью принципа Кавальери, создавая сечения плоскостями, параллельными <tex> Oyz </tex>. Проинтегрировав прощадь сечений, получим объём, равный соответствующему интегралу. Вычисление площади кажлого из сечений тоже может делаться с помощью интеграла, воспринимая его, как подграфик функции переменной y при фиксированном x. Отсюда появляется повторный интеграл и само равенство. Осталось записать это формально, базируясь на предыдущих теоремах({{TODO|t=УПРАЖНЕНИЕ!!!}}).
}}
[[Мера подграфика|<<]] [[Математический_анализ_2_курс|>> на главную]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]