Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Цепные коды

1544 байта добавлено, 13:45, 24 июня 2019
м
Второй пункт доказательства корректности : веткора -> вектора
[[Файл:Chain4.png|right]]'''Цепной код''' (англ. ''chain code'') — это такое упорядочивание двоичных векторов одной длины, каждый следующий столбец которого (можно рассматривать как таблицу из <tex>2^n \times n</tex> элементов) получается из предыдущего циклическим сдвигом вверх. Цепной код позволяет исправить все одиночные ошибки при условии, что между любыми двумя ошибочно принятыми имеется по крайней мере три правильно принятых сигнала. Часто используется при передаче данных: видео, мобильной связи.
== Алгоритм получения цепного кода для двоичных векторов ==
В качестве первого вектора берём вектор из <tex>n</tex> нулей. Чтобы получить следующий вектор, берём последний добавленный вектор, пусть <tex>a_1\cdots dots a_n</tex>. Если в коде до этого не встречатся встречался вектор <tex>a_2\cdots dots a_n 1</tex>, то добавляем его. Иначе проверяем на наличие в коде вектора <tex>a_2\cdots dots a_n 0</tex>. Если такой не встречался, добавляем его. Если вектор уже встречался, значит, генерация кода закончена. При таком построении видно, что элементы таблицы <tex> a_1^i\dots a_1^{i+n}</tex> равны элементам <tex> a_1^i\dots a_n^i</tex>
== Псевдокод алгоритма ==
* <tex>\mathtt {current}</tex> — последний добавленный битовый вектор
* <tex>\mathtt {result}</tex> — список битовых векторов
'''string[]''' chain_code('''int''' n): current = string('0', * n)
result = [current]
'''while (''' ''true):'' prefix = current[2..substring(2, n)] '''if concat(''' prefix, + '1') '''not in ''' result: current = concat(prefix, + '1') '''else concat(''' prefix, + '0') '''not in ''' result: current = concat(prefix, + '0') '''else:''' '''break'''
result.append(current)
'''return ''' result В приведённом выше псевдокоде:* current — последний добавленный битовый вектор* result — список битовых векторов
==Доказательство корректности==
===Доказательство первого пункта===
Покажем, что единственная ситуация, когда требуется сгенерировать новый вектор, а оба возможных варианта (добавление нуля или единицы) уже добавлены — сгенерирован вектор из <tex>n</tex> нулей. Рассмотрим первое такое противоречие: последним добавлен вектор <tex>a_1 a_2 \cdots dots a_n</tex>, вектора <tex>a_2 \cdots dots 1</tex> и <tex>a_2 \cdots dots a_n 0</tex> уже присутствуют в коде.
Далее есть две возможных ситуации: вектор <tex>a_2 \cdots dots a_n 0</tex> состоит из <tex>n</tex> нулей или предшествовал другому вектору в коде. В первой ситуации алгоритм завершает работу.
Во второй сутиации ситуации каждому из векторов <tex>a_2 \cdots dots a_n 1</tex> и <tex>a_2 \cdots dots a_n 0</tex> предшествовали некоторые вектора в коде, пусть <tex>B_1 = b_1 a_2 \cdots dots a_n</tex> и <tex>B_2 = b_2 a_2 \cdots dots a_n</tex>. Так как мы рассматриваем первое противоречие, то <tex>b_1 \neq b_2</tex>.
Но в таком случае вектор <tex>a_1 a_2 \cdots dots a_n</tex> совпадает с одним из векторов <tex>B_1</tex> или <tex>B_2</tex>. Это противоречит предположению о том, что рассмотренная конфликтная ситуация является первой, следовательно, реализуется только первый вариант ситуации.
===Доказательство второго пункта===
 Покажем, что невозможно вернуться к слову до генерации вектора из всех нулей, пока не переберем все <mathtex>2^n</mathtex> слов, где n — длина слованулей генерируются все остальные битовые вектора. Допустим, мы всё же получили слово вектор из всех нулей раньше, чем перебрали все словавектора. Тогда разобьём словарассмотрим множество векторов <tex>Z</tex>, которые не попали в код на две группы: кончающиеся на единицу были сгенерированы алгоритмом и кончающиеся оканчиваются на ноль. Пусть <tex>a_1 a_2 \dots a_{n - 1} 0 \in Z</tex>. Докажем, что второй группы группы нет. Рассмотрим слово <tex>a_2 \dots a_{abc..yzn - 1}0, не попавшее в код, где {abc..yz} — некоторая последовательность единиц и нулей0 \in Z</tex>. ЗаметимОт противного, что слово пусть вектор <tex>a_2 \dots a_{bc..yz}00 также не в коде. Оно могло быть получено из слов n - 1{bc..yz}0 и 0</tex> был сгенерирован. Тогда ему предшествовал вектор <tex>b_1 a_2 \dots a_{bc..yzn - 1}0</tex>. Так как по предположению <tex>b_1 \neq a_1</tex>, одно из которых есть рассматриваемое то в коде может быть только один вектор такого вида, а в таком случае алгоритм может сгенерировать только <tex>a_2 \dots a_{abc..yzn - 1}01</tex>. Но  Значит, если другое слово и встретилось в кодемножество <tex>Z</tex> непусто, то мы бы получили оно содержит вектор из него {bc<tex>n</tex> нулей.Но это противоречит тому, что вектор из <tex>n</tex> нулей был сгенерирован.yz}01Следовательно, следуя алгоритму (причем это слово точно встретится предположение не верно и все вектора с нулём в первый раз)последней позиции были сгенерированы. Таким образом, слово  Пусть был сгенерирован вектор <tex>a_1 \dots a_{bc..yzn - 1}00 точно не в коде0</tex>. Такую же цепочку рассуждений можно провести и для слова Ему предшествовал некоторый вектор <tex>b_1 a_1 \dots a_{c..yzn - 1}000, и так далее</tex>. На Так как алгоритм сначала пытается поместить в код вектор <tex>a_1 \dots a_{n-ом 1} 1</tex>, то на этом шаге мы бы получили утверждение, что слова из вектор <tex>a_1 \dots a_{n нулей тоже нет - 1} 1</tex> уже присутсовал в коде, и пришли бы к противоречию. ЗаметимПредыдущее рассуждение показывает, что исходя из третьего и четвертого шагов, все слова всякий вектор вида <tex>a_1 \dots a_{abc..yz}n - 1 встречаются строго раньше {abc..yz}0</tex> был добавлен в код, которые точно записаны а значит, и вектор вида <tex>a_1 \dots a_{n - 1} 1 </tex> также был добавлен в код. Таким образом, слов, не попавших все двоичные вектора присутсвуют в код, нетсгенерированном коде. == См. также == *[[Коды Грея]]*[[Коды антигрея]]*[[Коды Грея для перестановок]] == Источники информации ==*[http://en.wikipedia.org/wiki/Chain_code Wikipedia {{---}} Chain code]  [[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]] [[Категория: Комбинаторика ]]
6
правок

Навигация