Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Поток минимальной стоимости

3725 байт добавлено, 16 сентябрь
Алгоритм: Оказывается бывают отрицательные стоимости
== Определение задачи ==Задача о потоке минимальной стоимости состоит в нахождении среди всех [[Определение сети, потока|потоков]] данной величины наименее затратного.== 
{{Определение
|definition=Дано число Пусть дана сеть <tex>f_0G(V,E)</tex> . <tex>S, T \in V</tex> {{---}} источник и транспортная сеть сток. Ребра <tex>(u,v) \in E</tex> имееют пропускную способность <tex> c(u, v),G</tex> поток <tex> f(Vu,Ev)</tex> с источником и цену за единицу потока <tex>s \in Va(u, v) </tex> и . Тогда '''общая стоимость потока''' из <tex>S</tex> в <tex>t \in VT</tex>, где ребра ::<tex>p(u,v) = \sum\limits_{u,v \in EV, f(u,v)>0} a(u,v) \cdot f(u,v)</tex> имеют }}===Свойства сети===* Поток не может превысить пропускную способность . :<tex>f(u,v) \,leqslant c(u,v)</tex> и цену * Поток из <tex>u</tex> в <tex>v</tex> должен быть противоположным потоку из <tex>v</tex> в <tex>u</tex>. :<tex>\,pf(u,v)=-f(v, u)</tex>* Сохранение потока. Для каждой вершины, сумма входящего и исходящего потоков равно <tex>0</tex>. Суть задачи — найти поток :<tex>\sum\limits_{w \in V} f(u, vw)= 0</tex>:
:{{Задача|definition = Дана сеть <tex>pG(fV,E) = \sum_{u</tex>. <tex>S,v T \in V, f(u,v)</tex>0{{---} p} источник и сток. Ребра <tex>(u,v) \cdot fin E</tex> имееют пропускную способность <tex> c(u,v) \rightarrow min , </tex>.:поток <tex>|f| = \sum_{u,v \in V, f(u,v)</tex>0{{---} f}и цену за единицу потока <tex> a(u,v) = f_0</tex>. Требуется найти максимальный поток, суммарная стоимость которого минимальна.
}}
== Алгоритмы решения ==
===Метод устранения отрицательных циклов в остаточной сети===Воспользуемся [[Лемма об эквивалентности свойства потока быть минимальной стоимости и отсутствии отрицательных циклов в остаточной сети|леммой об эквивалентности свойства потока быть минимальной стоимости и отсутствии отрицательных циклов в остаточной сети]]. Получим следующий алгоритм:====Алгоритм====*Найти любой поток величины '''Начало.'''* '''Шаг 1'''. Определим для каждого прямого ребра <tex>f_0(u,v)</tex>обратное ребро <tex>(v, после чего избавиться от всех циклов отрицательной стоимости в остаточном графеu)</tex>. Чтобы избавиться от циклаОпределим его характеристики: <tex>c(v,u)=0</tex>, <tex>f(v,u)=-f(u,v)</tex>, <tex>a(v,u)=-a(u, надо пустить по нему максимально возможный v)</tex>.* '''Шаг 2'''. Для каждого ребра зададим потокравный <tex>0</tex>.* '''Шаг 3'''. Циклы ищутся Найдем произвольный максимальный поток(любым алгоритмом нахождения максимального потока), построим для него остаточную сеть, где каждому ребру будет соответствовать величина <tex>a(u,v) \cdot (c(u,v) - f(u,v))</tex>.* '''Шаг 4'''. При помощи [[Алгоритм Форда-Беллмана|алгоритма Форда-Беллмана]]найдем отрицательный цикл в построенной сети. Если отрицательный цикл не нашелся {{---}} перейдем к '''шагу 6'''.*[[Поиск_потока_минимальной_стоимости_методом_дополнения_вдоль_путей_минимальной_стоимости'''Шаг 5'''. Избавимся от отрицательного цикла, для этого пустим по нему максимально возможный поток. Величина потока равна минимальной остаточной пропускной способности в цикле. Перейдем к '''шагу 4'''.* '''Шаг 6'''. Отрицательных циклов в остаточной сети нет, значит, максимальный поток минимальной стоимости найден.* '''Конец.''' ====Асимптотика====Алгоритм Форда-Беллмана работает за <tex>O(VE)</tex>, улучшение цикла за <tex>O(E)</tex>. Если обозначить максимальную стоимость потока как <tex>C</tex>, а максимальную пропускную способность как <tex>U</tex>, то алгоритм совершит <tex>O(ECU)</tex> итераций поиска цикла, если каждое улучшение цикла будет улучшать его на 1. В итоге имеем <tex>O(V E^2 C U + maxFlow)</tex>, где <tex>maxFlow</tex> - асимптотика поиска максимального потока. ===Метод дополнения потока вдоль путей минимальной стоимости==={{main|Поиск потока минимальной стоимости методом дополнения вдоль путей минимальной стоимости]].}} ===Использование потенциалов Джонсона===*[[Использование_потенциалов_Джонсона_при_поиске_потока_минимальной_стоимости{{main|Использование потенциалов Джонсона при поиске потока минимальной стоимости (модификация предыдущего алгоритма)}} == См. также ==* [[Сведение задачи о назначениях к задаче о потоке минимальной стоимости|Сведение задачи о назначениях к задаче о потоке минимальной стоимости]]* [[Венгерский алгоритм решения задачи о назначениях|Венгерский алгоритм решения задачи о назначениях]].
== Ссылки Источники информации ==*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Поток_минимальной_стоимости Википедия {{- --}} Поток минимальной стоимости]
*[http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/graph-flow-match/min-cost-max-flow-2009 Визуализатор алгоритма нахождения максимального потока минимальной стоимости]
*[http://habrahabr.ru/blogs/algorithm/61884/ Хабрахабр {{- --}} Максимальный поток минимальной стоимости] == Литература ==* ''Кормен, Томас Х., Лейзерсон, Чарльз И., Ривест, Рональд Л., Штайн Клиффорд'' '''Алгоритмы: построение и анализ''', 2-е издание. Пер. с англ. {{---}} М.:Издательский дом "Вильямс", 2010. {{---}} 1296 с.: ил. {{---}} Парал. тит. англ. {{---}} ISBN 978-5-8459-0857-5 (рус.)
[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Задача о потоке минимальной стоимости]]
6
правок

Навигация