'''Эргодическая''' [[Марковская цепь|марковская цепь]] {{---}} марковская цепь, целиком состоящая из одного эргодического класса.
}}
{{Определение
|definition=
'''Эргодическое распределение''' - распределение <tex>\pi = (\pi_1,\pi_2,\ldots )</tex>, такое что <tex>\pi_i > 0,\; i \in \mathbb{N}</tex> и
<tex>\lim\limits_{n \to \infty} p_{ij}^{(n)} = \pi_j, ~ \forall i \in \mathbb{N}</tex> (где <tex>p_{ij}^{(n)}</tex> - вероятность оказаться в <tex>j</tex>-ом состоянии, выйдя из <tex>i</tex>-ого, через <tex>n</tex> переходов).
}}
Эргодические цепи могут быть [[Регулярная марковская цепь|регулярными]] или '''циклическими'''. Циклические цепи отличаются от регулярных тем, что в процессе переходов через определенное количество шагов (цикл) происходит возврат в какое-либо состояние. Регулярные цепи этим свойством не обладают.
Эргодическая цепь характеризуется тем, что она состоит из одного эргодического класса, т.е. что можно перейти их каждого состояния в любое другое. Но если <tex>d > 1</tex> (<tex>d</tex> - количество циклических классов), то такие переходы возможны только при некоторых специальных значениях числа шагов <tex>n</tex>. Таким образом, никакая степень матрицы переходов <tex>P</tex> не является положительной матрицей, и различные степени содержат нули на различных местах. С увеличением степени расположение этих нулей циклически повторяется. Следовательно, последовательность <tex>P^{n}</tex> не может сходиться. В этом и состоит основное различие между ''циклическими'' и ''регулярными'' цепями.
==Стационарный режим==
Для эргодических цепей при достаточно большом времени функционирования (<tex>t \to \infty</tex>) наступает '''стационарный режим''', при котором вероятности <tex>\pi_i</tex> состояний системы не зависят от времени и не зависят от распределения вероятностей в начальный момент времени, т.е. <tex>\pi_i = const</tex>.
Для определения стационарных вероятностей == Классификация эргодических цепей == {{Определение|definition=В эргодической цепи можно выделить '''циклические классы'''. Количество циклических классов <tex>\pi_id </tex> нахождения системы называют '''периодом цепи''', если цепь состоит целиком из одного циклического класса, её называют [[Регулярная марковская цепь|регулярной]]. С течением времени текущее состояние движется по циклическим классам в определенном порядке, причем каждые '''d''' шагов она оказывается в состоянии <tex>S_{iодном и том же циклическом классе.}}</tex> нужно составить систему <tex>n</tex> линейных однородных алгебраических уравнений с <tex>n</tex> неизвестными: Таким образом, эргодические цепи делятся на [[Регулярная марковская цепь|регулярные]] и '''циклические'''.
== Эргодическая теорема =={{Определение|definition='''Эргодическое (стационарное) распределение''' - распределение <tex>\pi = (\pi_1,\pi_2,\ldots )</tex>, такое что <tex>\pi_pi_i > 0,\; i \in \mathbb{iN} = </tex> и<tex>\sumlim\limits_{j=1n \to \infty} p_{ij}^{(n)}(= \pi_j, ~ \forall i \in \pi_mathbb{jN} \times </tex> (где <tex>p_{jiij}^{(n)}</tex> - вероятность оказаться в <tex>j</tex>-ом состоянии, где выйдя из <tex>i = 1,2,...</tex>-ого,через <tex>n</tex>переходов).}}
Можно заметить, что так как все свободные члены равны нулю, система имеет бесконечное число решений. Однако, у нас есть дополнительные условия на решение: <tex>\sum\limits_{j=1}^{n}\pi_{i} = 1</tex> и <tex> \pi_i \ge 0 </tex>. Следующая = Для регулярных цепей ===Доказательство теоремы для случая регулярных цепей приведено в конспекте про [[Регулярная марковская цепь#Эргодическая теорема утверждает единственность решения такой системыдля регулярных цепей | регулярные цепи]].
==Основная теорема об эргодических распределениях= Для циклических цепей ===
{{
Теорема
|about=Основная Эргодическая теорема об эргодических распределениях
|statement=
Для эргодической марковской здесь был треш|proof= В случае циклической цепи эргодическое распределение переходы из одного циклического класса в другой возможны только при определенных значениях <tex>\mathbf{\pi}n </tex> является единственным решением системы: :, которые периодически повторяются. Таким образом, никакая степень матрицы переходов <tex>P</tex>\sum\limits_{i=0}^{\infty} \pi_i = 1не является положительной матрицей,\; \pi_j \ge 0и различные степени содержат нули на различных местах. С увеличением степени расположение этих нулей периодически повторяется. Следовательно,\; \pi_j = \sum\limits_{i=0}последовательность <tex>P^{\infty} \pi_i\, p_{ij},\quad \, j\in \mathbb{Nn}</tex>не может сходиться в обычном смысле, для нее требуется так называемая суммируемость по Эйлеру.блаблабла доказательство
}}
