Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Основные определения, связанные со строками

13 852 байта добавлено, 10 апрель
м
Примеры
== Базовые определения ==
{{Определение
|definition='''Символ''' (англ. ''symbol'') {{---}} объект, имеющий собственное содержание и уникальную читаемую форму.
}}
 
{{Определение
|id=alphabet
|definition =
'''Алфавит''' (англ. ''alphabet'') {{---}} конечное непустое [[Множества|множество]] символов. Условимся обозначать алфавит большой греческой буквой <tex>\Sigma</tex>.
}}
 
Наиболее часто используются следующие алфавиты:
* <tex>\Sigma=\{0, 1\}</tex> {{---}} бинарный или двоичный алфавит.
* <tex>\Sigma=\{a, b, \dots,z\}</tex> {{---}} множество строчных букв английского алфавита.
* <tex>\Sigma = \left\{0, 1, 2, \dots, 9\right\} </tex> {{---}} алфавит цифр.
* <tex>\Sigma = \left\{\cdot, -\right\} </tex> {{---}} алфавит, лежащий в основе азбуки Морзе.
* Нотные знаки
 
{{Определение
|id=string
|definition =
'''АлфавитомСлово''' <tex>\sum</tex> называется конечное непустое множество (англ. ''string'') или '''цепочка''' {{---}} конечная последовательность символовнекоторого алфавита.
}}
{{Определение
|definition =
'''ЦепочкойДлина цепочки''' (словом, строкойангл. ''string length'') конечной длины обозначим {{---}} число символов в цепочке. Длину некоторой цепочки <tex>w</tex> обычно обозначают <tex>\sum^p : \sum^p = \bigcup\limits_{n \in \mathbb N} \sum^n|w|</tex>.
}}
{{Определение
|definition =
'''Конкатенацией''' строк <tex>\alpha = \sumSigma^k</tex> и {{---}} множество цепочек длины <tex>\beta = \sum^mk</tex> является строка над алфавитом <tex>\alpha\beta = \sum^{k+m}Sigma</tex>. Конкатенация является ассоциативной операцией.
}}
{{Определение
|definition =
<tex>\Sigma^* = \bigcup \limits _{k=0}^\infty \Sigma^k</tex> {{---}} множество всех цепочек над алфавитом <tex>\Sigma</tex>.
}}
{{Определение
|id = defconcat
|definition =
'''Нейтральным элементом''' Пусть <tex>\epsilon alpha,\ \beta \in \sumSigma^{0}*</tex> называется элемент, для которого верно . Тогда <tex>\alpha\epsilon=cdot \epsilonbeta </tex> или <tex> \alpha=\beta </tex> обозначает их '''конкатенацию''' (англ. ''concatenation''), то есть цепочку, в которой последовательно записаны цепочки <tex> \alpha</tex> и <tex> \beta </tex>.
}}
{{Определение
|definition =
'''Пустая цепочка''' (англ. ''empty string'') {{---}} цепочка, не содержащая ни одного символа. Эту цепочку, обозначаемую <tex>\varepsilon </tex>, можно рассматривать как цепочку в любом алфавите. Для любой строки <tex>\alpha \in \Sigma^k</tex> верно <tex> : \alpha\varepsilon=\varepsilon\alpha=\alpha</tex>.}} Множество строк с операцией ''конкатенации'' и нейтральным элементом ''пустой строкой'' образует [[Моноид|свободный моноид]]. ==Отношения между строками== {{Определение|id=prefix|definition='''Префикс''' (англ. ''prefix'') строки <tex>\beta</tex> называется {{---}} строка <tex>\alpha : \beta = \alpha \gamma</tex>. }} Пусть <tex>\beta = \underline{abr}acadabra</tex>, тогда <tex>\alpha = abr</tex> {{---}} префикс <tex>\beta</tex>. {{Определение|id=suffix|definition='''Суффикс'''(англ. 'префиксом'suffix'' ) строки <tex>\beta</tex> {{---}} строка <tex>\alpha : \beta = \gamma \alpha </tex>. }} Пусть <tex>\beta= abracada\underline{bra}</tex>, если тогда <tex>\alpha = bra</tex> {{---}} суффикс <tex>\beta </tex>. {{Определение|id=border|definition= '''Бордер''' (англ. ''circumfix'') строки <tex>\beta</tex> {{---}} строка <tex>\alpha : \beta = \gamma\alpha = \alpha \eta</tex>.}} Пусть <tex>\beta = \underline{abra}cad\underline{abra}</tex>, тогда <tex>\alpha = abra</tex> {{---}} бордер <tex>\beta</tex>. {{Определение|id=ind|definition=<tex>\alpha[i]</tex> {{---}} символ строки <tex>\alpha</tex>, находящийся на <tex>i</tex>-ой позиции.}} Пусть <tex>\beta = cacao</tex>, тогда <tex>\beta[1] = c, \beta[4] = a </tex>. {{Определение|id=period|definition='''Период''' (англ. ''period'') строки <tex>\alpha</tex> {{---}} число <tex>p : \forall i = 1 \ldots |\alpha| - p, \alpha [i] = \alpha[i + p]</tex>. }} Пусть <tex>\alpha = acaacaa</tex>, тогда <tex>p = 3</tex> {{---}} период строки <tex>\alpha = acaacaa</tex>.  {{Утверждение|statement=Пусть известна строка <tex>\tau</tex> {{---}} период <tex>\alpha</tex> и <tex>|\alpha|</tex>, тогда можно восстановить всю строку <tex>\alpha</tex>.|proof=Из определения периода строки следует, что <tex>\alpha[1 \dots |\tau|] = \alpha[|\tau| + 1 \dots 2 \cdot |\tau|] = \dots = \alpha[|\tau| \cdot (k - 1) + 1 \dots |\tau| \cdot k] </tex>, где <tex>k = </tex> <tex dpi="140">\left\lfloor\frac{|\alpha|}{|\tau|} \right\rfloor</tex>.  Таким образом <tex>\alpha = </tex><tex dpi="140">\sum \limits_{i=1}^{\left\lfloor\frac{|\alpha|}{|\tau|} \right\rfloor}</tex><tex> \tau + \tau[1 \dots |\alpha| \bmod |\tau|]</tex>.}}  {{Определение|id=hardperiod|definition=Строка <tex>\alpha \neq \varepsilon</tex> c периодом <tex>p \neq |\alpha|</tex>, называется '''сильнопериодической''', если <tex>|\alpha| \bmod p = 0</tex>.}} Строка <tex>\alpha = acaacaaca</tex> является сильнопериодической с периодом <tex>p = 3</tex>. Аналогично определяется  {{Определение|id=substring|definition='''Подстрока'''(англ. 'суффикс'substring'' ) {{---}} некоторая непустая подпоследовательность подряд идущих символов строки.}} Пусть <tex>\beta = abr\underline{aca}dabra</tex>, тогда <tex>\alpha = aca</tex> {{---}} подстрока строки <tex>\beta</tex>. {{Определение|id=repetition|definition='''Тандемным повтором''' (англ. ''repetition'') называется непустая строка вида <math>\alpha\alpha</math>.}} {{Определение|id=palindrome|definition='''Палиндромом''' (англ. <i>Palindrome</i>) называется строка вида <tex>\alpha\overline{\alpha}</tex> или <tex>\alpha c\overline{\alpha}</tex>, где <tex>\overline{\alpha}</tex> {{---}} развернутая строка <tex>\alpha</tex>, <tex>c</tex> {{---}} любой символ.
}}
{{Определение
|definition =
Строка <tex>\alpha</tex> называется '''бордеромлексикографически меньше''' строки <tex>\beta</tex>(<tex>\alpha < \beta</tex>), если 1. <tex>\alpha</tex> {{---}} префикс <tex>\beta</tex> ''или'' 2. <tex>\mathcal \exists k : k \leqslant \min(|\alpha|, |\beta|) </tex> одновременно является и суффиксом и префиксом.<tex> \alpha[k] < \beta[k] </tex>, при этом <tex> \mathcal \forall j < k : \alpha_j = \beta_j </tex>
}}
Строка <tex>\alpha = aca < \beta = acaaba</tex>, так как является префиксом <tex>\beta</tex>.
 
Строка <tex>\alpha = acaa < \beta = acab</tex>, так как <tex>a < b</tex>.
 
== Формальные языки ==
{{Определение
|id = deflanguage
|definition =
Строка <tex>\alpha</tex> называется '''периодическойЯзык''' (англ. ''language'', если ) над алфавитом <tex>\alpha = \beta^kSigma</tex>, для некоторого {{---}} некоторое подмножество <tex>k > 1\Sigma^*</tex>. Иногда такие языки называют '''формальными''' (англ. ''formal''), чтобы подчеркнуть отличие от языков в привычном смысле.
}}
Отметим, что язык в <tex>\Sigma</tex> не обязательно должен содержать цепочки, в которые входят все символы <tex>\Sigma</tex>. Поэтому, если известно, что <tex>L</tex> является языком над <tex>\Sigma</tex>, то можно утверждать, что <tex>L</tex> {{---}} это язык над любым алфавитом, являющимся надмножеством <tex>\Sigma</tex>.
=== Операции над языками ===
Пусть <tex>L</tex> и <tex>M</tex> {{---}} языки. Тогда над ними можно определить следующие операции.
#Теоретико-множественные операции:
#* <tex>L \cup M</tex> {{---}} объединение,
#* <tex>L \cap M </tex> {{---}} пересечение,
#* <tex>L \setminus M</tex> {{---}} разность,
#* <tex>\overline{L}=\Sigma^* \setminus L</tex> {{---}} дополнение.
# Конкатенация: <tex>LM=\left\{\alpha\beta|\alpha \in L, \beta \in M\right\}</tex>.
# Конкатенация с обратным языком: <tex>LR^{-1} = \{ w \mid \exists y \in R : wy \in L\}</tex>; конкатенация с обратным словом: <tex>Ly^{-1} = L\{y\}^{-1}, y \in \Sigma^*</tex>.
# Степень языка: <tex>L^k=\begin{cases}
\{\varepsilon\}, k = 0\\
LL^{k-1}, k > 0.
\end{cases}
</tex>
# Замыкание Клини: <tex>L^*=\bigcup\limits_{i=0}^{\infty}L^i</tex>.
# [[#Гомоморфизм языков| Гомоморфизм]]
 
=== Примеры ===
* <tex>(\{0\}^*) \cup (\{1\}^*)</tex> {{---}} язык состоит из последовательностей нулей, последовательностей единиц и пустой строки.
* <tex>(\{0\}\{0\}^*) \cup (\{1\}\{1\}^*)</tex> {{---}} аналогично предыдущему, но не содержит пустую строку.
* <tex>(\{0\} \cup \{1\})^* = \{0, 1\}^*</tex> {{---}} содержит все двоичные векторы и пустую строку.
* Если <tex>L_p</tex> — язык десятичных представлений всех простых чисел, то язык <tex>(L_p \setminus (\{3\}\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,0\}^*)) \ \ </tex> будет содержать десятичные представления простых чисел, не начинающихся с тройки.
* <tex>\{\mathrm{ab, ba, bba, abab, aa}\}a^{-1} = \{\mathrm{b, bb, a}\}</tex>.
 
== Гомоморфизм языков ==
{{Определение
|definition =Строка Пусть даны два алфавита <tex>\alphaSigma_1, \Sigma_2</tex> является . '''подстрокойГомоморфизмом''' называется такое отображение <tex>\betavarphi \colon \Sigma_{1}^{*} \to \Sigma_{2}^{*}</tex>, если что:* <tex>\beta varphi(\varepsilon) = \gamma varepsilon</tex>, то есть сохраняет пустую строку* <tex>\forall w_1, w_2 \in \Sigma_1^*: \varphi(w_1w_2) = \alpha varphi(w_1)\deltavarphi(w_2)</tex>., то есть сохраняет конкатенацию
}}
 
{{Определение
|definition =Строка '''Образом языка''' <tex>L \alpha subset \le \betaSigma_1^* </tex>, если:* при гомоморфизме <tex>\alphavarphi: \Sigma_1^* \to \Sigma_2^*</tex> префикс (иногда называют '''прямым гомоморфизмом''') называется язык <tex>M = \betavarphi(L) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \{ \varphi(x) \mid x \in L \}</tex>* . <texbr>\gamma</tex> общий префикс Заметим, что <tex>\alphavarphi</tex> и будет [[Моноид#defmonhom | гомоморфизмом моноидов]] <tex>\beta</tex>langle L, <tex>\alpha = cdot, \gamma c varepsilon \deltarangle</tex>, и <tex>\beta = langle M, \cdot, \gamma d varepsilon \xi</tex> и <tex>c < drangle</tex>
}}
 
{{Определение
|definition =<tex>r</tex> называется '''периодомПрообразом языка''' <tex>M \subset \alphaSigma_2^*</tex>, если при гомоморфизме <tex>\forall i = 1 varphi: \Sigma_1^* \to \ldots n - rSigma_2^*</tex> (иногда называют '''обратным гомоморфизмом''') называется язык <tex>L = \varphi^{-1}(M) \overset{\underset{\alpha [i] mathrm{def}}{}}{= } \alpha[i + r]{ x \mid \varphi(x) \in M \}</tex>. Если <br>Заметим, что <tex>n = kr\varphi</tex>будет [[Моноид#defmonhom | гомоморфизмом моноидов]] <tex>\langle L, где \cdot, \varepsilon \rangle</tex>k и <tex> 1\langle M, \cdot, \varepsilon \rangle</tex>, то строка называется '''сильнопериодической'''.
}}
=== Примеры === * тривиальные гомоморфизмы** обнуляющий: <tex> \varphi(x) = \varepsilon, x \in L </tex>, тогда <tex> \varphi(L) = \{ \varepsilon \} </tex>** тождественный: <tex> \varphi(x) = x, x \in L </tex>, тогда <tex> \varphi(L) = L </tex> и <tex> \varphi^{-1}(L) = L</tex>* '''гомоморфизм цепочек''' {{---}} функция, подставляющая некоторую строку вместо каждого символа. Более формально, для заданного отображения <tex> h\colon \Sigma_1 \to \Sigma_1^* </tex> гомоморфизмом цепочек будет функция <tex> \varphi: \Sigma_1^* \to \Sigma_2^* </tex>, действующая от каждого символа строки из языка следующим образом <tex> \varphi(\overline{c_1 c_2 ... c_n}) = h(c_1)h(c_2) ... h(c_k) </tex>. Регулярные языки [[Замкнутость регулярных языков относительно различных операций#st1 | замкнуты]] относительно гомоморфизма цепочек* ''солнечный язык'' из детских игр (когда после каждой гласной в слове надо добавлять букву "С" и эту же гласную) может быть представлен в виде гомоморфизма языков, где все согласные символы отображаются сами в себя, а гласный символ <tex> z </tex> переходит в <tex> zCz </tex> * циклический гомоморфизм: зафиксируем порядок символов в алфавите, будем отображать каждый символ в следующий, а последний {{---}} в первый. Обратным гомоморфизмом будет отображение каждого символа в предыдущий.== См. также ==* [[Период и бордер, их связь]]* [[Слово Фибоначчи]]* [[Слово Туэ-Морса]]* [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность]] == Источники информации ==* [[wikipedia:Formal_language_theory | Wikipedia {{---}} Formal language]]* [[wikipedia:Kleene_star | Wikipedia {{---}} Kleene star]]* [[wikipedia:String_operations#String_homomorphism | Wikipedia {{---}} String homomorphism]]* [[wikipedia:ru:Формальный_язык | Википедия {{---}} Формальный язык]]* [[wikipedia:ru:Звезда_Клини| Википедия {{---}} Звезда Клини]]* [http://www.google.ru/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=0CCsQFjAA&url=http%3A%2F%2Fehess.modelisationsavoirs.fr%2Fatiam%2Fbiblio%2FLothaire83-chap1.pdf&ei=UiV6UuvbAeaP4gSot4HwCA&usg=AFQjCNGUnEUG4oKbynqjDvd6NVMfSUuMJQ&sig2=GzMd4HvBNW2vYctSWDfvZQ&bvm=bv.55980276,d.bGE&cad=rjt M.Lothaire "Combinatorics on words"]* Гасфилд Д. Строки, деревья и последовательности в алгоритмах: Информатика и вычислительная биология. — 2-е изд.* Kelley, Dean (1995). Automata and Formal Languages: An Introduction. London: Prentice-Hall International. ISBN 0-13-497777-7.* ''Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д.'' Введение в теорию автоматов, языков и вычислений, 2-е изд. : Пер. с англ. {{---}} М.:Издательский дом «Вильямс», 2002. {{---}} С. 45. [[Категория:Алгоритмы и структуры данныхТеория формальных языков]][[Категория:Основные определения. Простые комбинаторные свойства слов]][[Категория: Автоматы и регулярные языки]]
385
правок

Навигация