Изменения

$a_l \circ a_{l+1} \circ \dots \circ a_r = (a_l \circ a_{l+1} \circ \dots \circ a_k) \circ (a_{r - k} \circ a_{r - k + 1} \circ \dots \circ a_r)$, где $l \leqslant k \leqslant r; \frac{l}{2} \leqslant k$.

Покажем, что Отрезок $a \circ b \circ c \circ d = (a \circ b \circ c) \circ (b \circ c \circ da_{r-k}, a_k)$содержится в обои операндах правой части. ДействительноЗначит, $a \circ b \circ c \circ b \circ c \circ d = a \circ b \circ b \circ c \circ c \circ d = a \circ b \circ c \circ d $каждый элемент из него входит два раза. По коммутативности мы можем расположить повторяющиеся элементы друг с другом. Будем применять это к выражению По ассоциотивности мы можем расставлять скобки как угодно, в правой части равенства до тех портом числе, обособляя эти самые повторы. А за счет идемпотентности мы от них избавляемся. В итоге, пока не получим получаем выражение в левой части. Поле каждого шага количество одинаковых элементов сократится на два. А так как их конечное четное (по $2k - r$ в каждой скобке) число, то и количество шагов будет конечнымравенства.