Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Сортировка вставками

6858 байт добавлено, 9 февраль
исправлена опечатка "на на" -> "на"
'''Сортировка вставками''' (англ. ''Insertion sort'') — квадратичный алгоритм [[Сортировка|сортировки]].
==Алгоритм==
<wikitex>На Задача заключается в следующем: есть часть массива, которая уже отсортирована, и требуется вставить остальные элементы массива в отсортированную часть, сохранив при этом упорядоченность. Для этого на каждом шаге алгоритма мы выбираем один из элементов входных данных и вставляем его на нужную позицию в уже отсортированной части массива, до тех пор пока весь набор входных данных не будет отсортирован. Метод выбора очередного элемента из исходного массива произволен, однако обычно (и с целью получения устойчивого алгоритма сортировки), элементы вставляются по порядку их появления во входном массиве. Так как в процессе работы алгоритма могут меняться местами только соседние элементы, каждый обмен уменьшает число [[Таблица инверсий|инверсий]] на единицу. Следовательно, количество обменов равно количеству инверсий в исходном массиве вне зависимости от реализации сортировки. Максимальное количество инверсий содержится в массиве, элементы которого отсортированы по невозрастанию. Число инверсий в таком массиве <tex>\displaystyle \frac {n(n - 1)} {2}</tex>. Алгоритм работает за <tex>O(n + k)</tex>, где <tex>k</tex> — число обменов элементов входного массива, равное числу инверсий. В среднем и в худшем случае — за <tex>O(n^2)</tex>. Минимальные оценки встречаются в случае уже упорядоченной исходной последовательности элементов, наихудшие — когда они расположены в обратном порядке.
Алгоритм работает за $O(n + k)$, где k — число обменов элементов входного массива. В среднем и в худшем случае — за $O(n^2)$. Минимальные оценки встречаются в случае уже упорядоченной исходной последовательности элементов, наихудшие — когда они расположены в обратном порядке.
</wikitex>
==Псевдокод==
<wikitex> '''function''' insertionSort(a): '''for (int ''' i = 1; i $\leqslant$ '''to''' n - 1; i++) j $\leftarrow$ = i - 1 '''while (''' j $<tex> \geqslant$ </tex> 0 && '''and''' a[j] > a[j + 1]) swap(a[j] $\leftrightarrow$ , a[j + 1]) j $\leftarrow$ j - 1</wikitex>-
==Пример работы==
Пример работы алгоритма для массива <tex>[5, 2, 4, 3, 1]</tex>
{| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Меняет второй и первый местами. Массив отсортирован.
|}
== Оптимизации ==
=== Бинарные вставки ===
Теперь вместо линейного поиска позиции мы будем использовать [[Целочисленный двоичный поиск | бинарный поиск]], следовательно количество сравнений изменится с <tex>O(N^2)</tex> до <tex> O(N\log N) </tex>. Количество сравнений заметно уменьшилось, но для того, чтобы поставить элемент на своё место, всё ещё необходимо переместить большое количество элементов. В итоге время выполнения алгоритма в асимптотически не уменьшилось. Бинарные вставки выгодно использовать только в случае когда сравнение занимает много времени по сравнению со сдвигом. Например когда мы используем массив длинных чисел.
'''function''' insertionSort(a):
'''for''' i = 1 '''to''' n - 1
j = i - 1
k = binSearch(a, a[i], 0, j)
'''for''' m = j '''downto''' k
swap(a[m], a[m+1])
 
=== Двухпутевые вставки ===
Суть этого метода в том, что вместо отсортированной части массива мы используем область вывода. Первый элемент помещается в середину области вывода, а место для последующих элементов освобождается путём сдвига элементов влево или вправо туда, куда выгоднее.
Пример для набора элементов <tex>[ 5, 7, 3, 4, 6 ]</tex>
{| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"
!style="background-color:#EEE"| До
!style="background-color:#EEE"| После
!style="background-color:#EEE"| Описание шага
|-
|colspan=3|''Первый проход (проталкиваем первый элемент — '''''5''''')''
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"|
|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| '''5'''
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Так как в поле вывода нет элементов, то мы просто добавляем элемент туда.
|-
|colspan=3|''Второй проход (проталкиваем второй элемент — '''''7''''')''
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| 5
|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| 5 '''7'''
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| С помощью Бинарного поиска находим позицию и, так как позиция крайняя, то сдвигать ничего не приходится.
|-
|colspan=3|''Третий проход (проталкиваем третий — '''''3''''')''
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| 5 7
|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| '''3''' 5 7
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| С помощью Бинарного поиска находим позицию и, так как позиция крайняя, то сдвигать ничего не приходится.
|-
|colspan=3|''Четвертый проход (проталкиваем четвертый элемент — '''''4''''')''
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 20px"| 3 5 7
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 3 '''4''' 5 7
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| С помощью Бинарного поиска находим позицию. Расстояние до левого края зоны вывода меньше, чем до правого, значит сдвигаем левую часть.
|-
|colspan=3|''Четвертый проход (проталкиваем пятый элемент — '''''6''''')''
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 3 4 5 7
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 3 4 5 '''6''' 7
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Расстояние до правого края меньше чем до левого, следовательно двигаем правую часть.
|}
Как можно заметить структура поля вывода имеет сходство с [[Персистентный дек| деком]], а именно мы выбираем край к которому ближе наш элемент, затем добавляем с этой стороны наш элемент и двигаем его. Как мы видим в этом примере понадобилось сдвинуть всего <tex>3</tex> элемента. Благодаря тому что для вставки <tex>j</tex>-ого элемента потребуется <tex>j/2</tex> сдвигов в худшем случае вместо <tex>j</tex>, то и итоговое число необходимых операций в худшем случае составит <tex>N^2 / 4 + N \log N</tex>.
 
== См. также ==
* [[Сортировка пузырьком]]
* [[Быстрая сортировка]]
* [[Сортировка подсчетом]]
* [[Сортировка Шелла]]== Источники информации==* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Сортировка_вставками Википедия - свободная энциклопедия%D0%A1%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B0_%D0%B2%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%B2%D0%BA%D0%B0%D0%BC%D0%B8 Сортировка вставками]* Н. Вирт «Алгоритмы '''Алгоритмы и структуры данных»данных''' {{---}} Невский Диалект, часть 22008.2{{---}} 352 с.1 "Сортировка с помощью прямого включения"== Дополнительные материалы =={{---}} ISBN 978-5-7940-0065-8
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/sorts/quadratic-2010 Визуализатор квадратичных алгоритмов]
* [http://rain.ifmo.ru/cat/data/theory/school/ses-VectSort-03/pres.pdf Презентация «Сортировка вектора - 3. Insertion Sort»]
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Сортировки]]
[[Категория: Квадратичные сортировки]]
Анонимный участник

Навигация