Изменения

Если слово <tex>x \notin L</tex>, то <tex>p_{\mathrm{RP_{weak}}}(x)</tex> всегда возвращает <tex>0</tex>. Тогда <tex>P(p_{\mathrm{RP}}(x) = 0) = 1</tex>, при <tex>x \notin L</tex>. Если хотя бы один вызов программы <tex>p_{\mathrm{RP_{weak}}}(x)</tex> вернёт <tex>1</tex>, то слово <tex>x \in L</tex>. Вероятность ошибки программы <tex>p_{\mathrm{RP_{weak}}}</tex> меньше, чем <tex>1-\frac{1}{q(|x|)}</tex>, то есть вероятность ошибки программы <tex>p_{\mathrm{RP}}</tex> меньше, чем <tex>(1-\frac{1}{q(|x|)})^k</tex>. <tex>k</tex> надо выбрать таким, что вероятность ошибки программы <tex>m_{\mathrm{RP}}</tex> при <tex>x \in L</tex> была меньше <tex>\frac {1}{2}</tex>. Получается неравенство <tex>(1-\frac{1}{q(|x|)})^k < \frac{1}{2}</tex>. <br/> Логарифмируя, получаем:<br/> <tex>k\ ln(1-\frac{1}{q(|x|)}) < ln(\frac{1}{2})</tex>.<br/> Разложив логарифм в ряд Тейлора, получаем<br/> <tex>k(-\frac{1}{q(|x|)} + o(\frac{1}{q(|x|)})) < -ln(2)</tex>. <br/> Отсюда <tex>k > q(|x|)ln(2)</tex>.

Но здесь <tex>k</tex> выбирается так, чтобы выполнялось неравенство<br/> <tex>(\frac{1}{2})^k < \frac{1}{q(|x|)} \Leftrightarrow </tex>.<br/>То есть <tex>k > log_2(q(|x|))</tex>.

Напишем программу <tex>m_p_{\mathrm{RP_{strong}}}</tex>, удолетворяющую ограничениям сложностного класса <tex>\mathrm{RP_{strong}}</tex>. <tex>m_p_{\mathrm{RP_{strong}}}(x)</tex>

'''if''' <tex>m_p_{\mathrm{RP}}(x)</tex>'''then''' '''then return''' <tex>1</tex>

В этом случае <tex>k</tex> необходимо выбрать таким, что должно выполняться неравенство <tex>(\frac{1}{2})^k < 1 - \frac{1}{2^{q(|x|)}} \Leftrightarrow </tex>. То есть<br/><tex>k > -log_{2}(1-\frac{1}{2^{q(|x|)}})</tex>. <br/>Разложив в ряд Тейлора получаем, что <br/> <tex>-log_{2}(1-\frac{1}{2^{q(|x|)}}) = \frac{2^{-q(|x|)}}{ln(2)} + o(2^{-q(|x|)}) = \frac{(1+q(|x|)+o(q(|x|)))^{ln(\frac{1}{2})}}{ln(2)} < \frac{1+q(|x|)}{ln(2)}</tex>. <br/>То есть <tex>k</tex> надо взять больше, чем <tex>\frac{1+q(|x|)}{ln(2)}</tex>.

Для доказательства утверждения необходимо написать программу <tex>m_p_{\mathrm{RP}}</tex>, которая будет удолетворять ограничениям сложностного класса <tex>\mathrm{RP}</tex>. <tex>m_p_{\mathrm{RP}}(x)</tex>

'''if''' <tex>m_p_{\mathrm{RP_{strong}}}(x)</tex>'''then''' '''then return''' <tex>1</tex>

<tex>k</tex> надо выбрать таким, чтобы выполнялось неравенство <br/><tex>(\frac{1}{2^{q(|x|)}})^k < \frac{1}{2}</tex>. <br/> Отсюда <tex>k > \frac{1}{q(|x|)}</tex>.