Бюрократы, editor, Администраторы
422
правки
Изменения
Нет описания правки
{{Определение
|definition =
<tex>\Sigma_{i} = \{L\bigm|\exists R(x,y_{1},\cdots,y_{i}) \in \mathrm{P}, p</tex> {{---}} <tex>poly : \forall x \in L \Leftrightarrow \exists y_{1} \forall y_{2} \exists y_{3} \cdots Q y_{i} : \forall j |y_{j}|~\le~p(|x|), R(x,y_{1},\cdots,y_{i})\},</tex><br/>
где <tex>L</tex> — формальный язык <tex>,Q = \exists</tex> для <tex>i = 2k$-$1,</tex> <tex>Q = \forall</tex> для <tex>i = 2k</tex>.
}}
{{Определение
|definition =
<tex>\Pi_{i} = \{L\bigm|\exists R(x, y_{1},\cdots,y_{i}) \in \mathrm{P}, p</tex> {{---}} <tex>poly : \forall x \in L \Leftrightarrow \forall y_{1} \exists y_{2} \forall y_{3} \cdots Q y_{i} : \forall j |y_{j}|~\le~p(|x|), R(x, y_{1}, \cdots, y_{i}) \},</tex><br/>
где <tex>L</tex> — формальный язык <tex>,Q = \forall</tex> для <tex>i = 2k$-$1,</tex> <tex>Q = \exists</tex> для <tex>i = 2k</tex>.
}}
== Взаимоотношения Соотношения между классами Σ и Π ==
{{Теорема
|statement = <tex>\Sigma_{i} \subset \Sigma_{i+1} \cap \Pi_{i+1}</tex>.
return <tex>R(x,y_{1},\cdots,y_{i})</tex>;
}
}}
return <tex>R(x,y_{1},\cdots,y_{i})</tex>;
}
}}
{{Теорема
|statement = <tex>\Sigma_{i} = \mathrm{co\Pi_{i}}</tex>.|proof = <tex>\mathrm{co\Pi_{i}} = \{L\bigm|\exists R(x,y_{1},\cdots,y_{i}) \in \mathrm{P}, p</tex> {{---}} <tex>poly: x \in L \Leftrightarrow \exists y_{1} \forall y_{2} \cdots Q y_{i} : \forall j |y_j|~\le~p(|x|), R(x,y_{1},\cdots,y_{i})\}.</tex><br/>Из самого выражения для <tex>\mathrm{co\Pi_{i}}</tex> очевидно равенство.
}}
{{Определение
|definition =
<tex>\mathrm{PH_{1}} = {\bigcup \atop {i \in \mathbb{N}}} \Sigma_{i}</tex>.<br/><tex>\mathrm{PH_{2}} = {\bigcup \atop {i \in \mathbb{N}}} \Pi_{i}</tex>.<br/><tex>\mathrm{PH_{3}} = {\bigcup \atop {i \in \mathbb{N}}} (\Sigma_{i} \cup \Pi_{i})</tex>.
}}
{{Теорема
|statement = Все три определения класса <tex>PH</tex> эквивалентны, т.е. <tex>\mathrm{PH_{1}} = \mathrm{PH_{2}} = \mathrm{PH_{3}}</tex>.|proof = <tex>\Sigma_{i} \subset \Pi_{i+1} \Rightarrow \mathrm{PH_{1}} \subset \mathrm{PH_{2}}</tex>.<br/><tex>\Pi_{i} \subset (\Sigma_{i+1} \cap \Pi_{i+1}) \subset (\Sigma_{i+1} \cup \Pi_{i+1}) \Rightarrow \mathrm{PH_{2}} \subset \mathrm{PH_{3}}</tex>.<br/><tex>\Pi_{i} \subset \Sigma_{i+1}, \Sigma_{i} \subset \Sigma_{i+1} \Rightarrow \mathrm{PH_{3}} \subset \mathrm{PH_{1}}</tex>.<br/>Т.о.Таким образом, <tex>\mathrm{PH_{1}} \subset \mathrm{PH_{2}} \subset \mathrm{PH_{3}} \subset \mathrm{PH_{1}}</tex>.
}}
{{Теорема
|statement = <tex>\mathrm{PH } \subset \mathrm{PS}</tex>.
|proof = Пусть <tex>L \in \Sigma_{i} \Rightarrow \exists R : x \in L \Leftrightarrow \exists y_{1} \cdots Q y_{i} : R(x,y_{1},\cdots,y_{i}), \forall j |y_{j}| \le poly(|x|)</tex>.<br/>
То есть, для перебора всех возможных значений <tex>y_{j}</tex> потребуется не более, чем <tex>i \cdot poly(|x|)</tex> памяти. Заметим, что <tex>i \cdot poly(|x|)</tex> тоже полином.
Таким образом, для любого формального языка из <tex>\mathrm{PH}</tex> существует программа, разрешающая его на полиномиальной памяти. То есть, любой формальный язык из <tex>\mathrm{PH}</tex> принадлежит <tex>\mathrm{PS}</tex>.
}}
[[Категория: Теория сложности]]
