100
правок
Изменения
→Теорема
Рассмотрим произвольную схему из [[Классы NC и AC| класса]] <tex>\mathrm{AC^0}</tex>. Не умаляя общности, будем считать, что:
# Выходная степень каждого элемента равна <tex>1</tex>.
# Схема имеет <tex>2n2n_0</tex> входных провода, причем последние <tex>nn_0</tex> из них являются отрицанием первых <tex>n</tex> входов.
# Элементы <tex>\lor</tex> и <tex>\land</tex> чередуются. Значит, схему можно разбить на уровни так, что на каждом уровне все элементы будут одинаковыми.
# Нижний уровень схемы состоит из <tex>\land</tex> элементов с единичной степенью входа.
Построим итеративный процесс, на каждом шаге которого можно с высокой вероятностью уменьшить глубину схемы на <tex>1</tex>, сохранив при этом число входов. Пусть <tex>n_0~-</tex> длина входной цепочки, а <tex>d~-</tex> глубина схемы. Выберем минимальное целое <tex>b</tex> так, чтобы <tex>nn_0^b</tex> было не меньше, чем число элементов в схеме. Обозначим <tex>n_i~-</tex> число входов схемы после <tex>i</tex>-го шаге. Возьмем <tex>k_i=10b\cdot2^i.</tex>
Пусть после <tex>i</tex>-ого шага глубина схемы будет <tex>d - i</tex>, причем наибольшая степень входа элемента на нижнем уровне будет <tex>k_i</tex>. Если нижний уровень схемы состоит из <tex>\land</tex> элементов, тогда уровень выше <tex>-</tex> из элементов <tex>\lor</tex>. Каждый <tex>\lor</tex> элемент можно считать <tex>k_i</tex>-ДНФ. Воспользуемся леммой. Пусть <tex>s = k_{i+1}</tex>, <tex>n = x</tex>, а в качестве <tex>t</tex> возьмем <tex>x - \frac{x}{\sqrt{n_i}}</tex>. Получаем, что с вероятностью <tex>\left(\frac{k_i^{10}}{\sqrt{n_i}}\right) ^ {k_{i+1}/2}</tex> функцию нельзя представить в виде <tex>k_{i+1}</tex>-КНФ. Заметим, что <tex>n_i = n_0^{1/2^i}</tex> при таком выборе <tex>t</tex>. Тогда при достаточно больших <tex>n</tex> верно, что <tex>\left(\frac{k_i^{10}}{\sqrt{n_i}}\right) ^ {k_{i+1}/2} = \left(\frac{k_i^{10}}{n_0^{1/2^{i+1}}}\right) ^ {k_{i+1}/2} \le \frac{1}{10n_0^b}</tex>. В итоге получаем, что <tex>k_i</tex>-ДНФ можно переписать в виде <tex>k_{i+1}</tex>-КНФ с вероятностью не менее <tex>1 - \frac{1}{10n_0^b}</tex>. Поскольку верхний уровень КНФ состоит из <tex>\land</tex> элементов, также как и уровень над КНФ, то их можно объединить, уменьшив при этом глубину схемы на <tex>1</tex>. Аналогично рассматриваем случай, когда нижний уровень схемы состоит из <tex>\lor</tex> элементов.
